Nonsquare invertible matrices

[axpgn]

[size=150]Proposition: All nonsquare matrices are invertible.[/size]


Proof:

1) If $A$ is not square, then det($A$) does not exist.

2) If det($A$) dose not exist, then it certainly cannot equal zero.

3) If det($A$) is not zero, then $A$ is invertible.


Non fa una grinza,



Cordialmente, Alex

[vict85]

@Alex

Non si tratta di usare teoremi standardizzati, ma di questioni sia logico/matematiche che semantiche. L'autore ha ritenuto che la differenza tra "non zero" e "nonzero" fosse sostanziale, mentre non ha ritenuto che "\(\displaystyle \det A \) is" implicasse l'esistenza di \(\displaystyle \det A \) cosa che invece è sempre vero in matematica e per i matematici. Esistono generalizzazioni del concetto di funzioni in cui non si richiede che la funzione definisca una mappa per ogni elemento del suo "dominio", ma questa non è la definizione usuale per i matematici e usarla è una scelta non-standard. In pratica, l'onere del richiedere l'esistenza del valore è in "\(\displaystyle \det A \) is" oppure in "non zero/nonzero" a seconda della scelta di definizione del concetto di funzione e non è quindi oggettiva come vuol far credere l'autore della soluzione. Evitando sottigliezze linguistiche dell'inglese e questioni di scelta, si potrebbe dire che il modo corretto per dirlo in italiano sia:
"\(det A\) esiste ed è diverso da zero",
insomma il problema era la mancanza di esite ed e su questo direi che siamo tutti d'accordo. Ovviamente l'uso positivo invece che negativo avrebbe risolto il problema.

Comunque, è molto pericoloso dare valore di verità ad un teorema semplificato ed espresso alla buona. Scriverlo in maniera meno rigorosa può aiutare a comprenderlo meglio, ma non si può usare prescindendo da ciò che è stato dimostrato. E devo dire che, in matematica, è un errore molto comune tra gli studenti inesperti e alle volte persino tra i quelli non così inesperti. Basti pensare a quando si generalizza "Un sottospazio di \(\mathbf{R}^{n}\) è compatto se e solo se è chiuso e limitato" a tutti gli spazi topologici perché ci si dimentica della parte "di \(\mathbf{R}^{n}\)".

Un po' di OT...
[ot]Uscendo dal problema in sé mi è capitato di incontrare un problema pratico simile a questo (posto da un conoscente). Leggendo una legge c'era scritto che un valore relativo ad un terreno fosse la media su due valori, uno dei quali non era definito per certi tipi di terreno. La domanda era quindi: "il valore va esteso con zero, invece della media va usato l'altro valore soltanto, oppure anche la media non è definita?"
Io personalmente le ho detto di chiedere allo studio legale del comune, perché matematicamente la media non esiste ma dubitavo che il legislatore fosse necessariamente di questa opinione. Inoltre il conoscente era abbastanza convinto che quel valore dovesse avere un valore anche per le altre tipologie di terreni.[/ot]

[axpgn]

@3m0o

"3m0o":La fallacia del ragionamento: è l'applicazione di un teorema per la conclusione che non può essere utilizzato.

No.
Sarebbe così come tu dici se avesse usato il teorema corretto (cioè "is nonzero") ovvero applicando il teorema corretto (cioè "formulato correttamente") non avrebbe potuto trarre quella conclusione (in modo logico).
Invece la conclusione è logicamente corretta usando però un teorema formulato scorrettamente.

@vict85

"vict85":... mentre non ha ritenuto che "\( \displaystyle \det A \) is" implicasse l'esistenza di \( \displaystyle \det A \)

Sì, qui ha chiaramente "glissato" probabilmente (penso io) ritenendo che l'errore principale dello studente fosse quello di aver male interpretato (oppure scritto male dall'autore del testo) il teorema.
È probabile anche che non abbia ritenuto lo studente così "sgamato" da fare quelle distinzioni su "esistente" oppure meno che tu hai qui sollevato

"vict85":insomma il problema era la mancanza di esite ed e su questo direi che siamo tutti d'accordo. Ovviamente l'uso positivo invece che negativo avrebbe risolto il problema.

Yes.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Invece sì ma non ho voglia di discutere perché un teorema formulato in modo scorretto e applicato in modo scorretto è un errore che rende una dimostrazione, seppur valida (nel senso che se il teorema affermasse quello allora la dimostrazione funzionerebbe), ma siccome il teorema non afferma quello allora non funziona il ragionamento. Il fatto che vi siano degli errori che rendono il ragionamento nemmeno valido da un punto di vista logico non significa che quell'altro non è un errore, significa che lo studente non ha capito na mazza.

E dico questo perché lo studente pensava
1) Di fare un ragionamento valido
2) Di poter applicare un teorema con le ipotesi che aveva
E sono due errori indipendenti. Nel senso che il ragionamento non è valido, e anche se fosse stato valido non avrebbe potuto applicare il teorema.