Nonsquare invertible matrices

[axpgn]

[size=150]Proposition: All nonsquare matrices are invertible.[/size]


Proof:

1) If $A$ is not square, then det($A$) does not exist.

2) If det($A$) dose not exist, then it certainly cannot equal zero.

3) If det($A$) is not zero, then $A$ is invertible.


Non fa una grinza,



Cordialmente, Alex

[Quinzio]

[axpgn]

Ma l'inghippo dov'è?

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Non è questo l'errore ma voglio solo far notare che si può definire anche un determinante per matrici non quadrate: Radic's determinant si chiama ma cadono alcune proprietà del comune determinante

[axpgn]

Non divagare!

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Okay

Comunque l'errore sta nel fatto che in 3) si assume implicitamente che \(A\) sia una matrice quadrata e che il determinante esiste ed è un'unità, poiché sia il determinante che una matrice invertibile sono definite solo per matrici quadrate.

[axpgn]

... mmm ... no, non è quello il motivo, lo studente non fa nessuna assunzione implicita, parte certamente dall'assunto che se non è quadrata non esiste il determinante e quindi se non esiste non può essere zero ... e un determinante diverso da zero implica invertibilità
È più sottile l'inghippo

Cordialmente, Alex

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Il fatto che ci possa essere un altro errore non lo escludo, ma quello è un errore perché il teorema di algebra afferma
Sia \(A \) una matrice \(n \times n \) a coefficienti in un campo allora le due affermazioni sono equivalenti
1) \( \det A \neq 0 \)
2) \(A\) è invertibile

quindi l'ultima frase per essere vera usa il fatto che \( A \) è \(n \times n \) nulla invece ci dice che se hai una matrice \(n \times m \) questa cosa è vera.

Edit:

E l'ipotesi che \(A\) sia quadrata è essenziale perché prima bisognerebbe dare un senso al significato di determinante per matrici non quadrate e poi di inversa... ma non saprei nemmeno come definire un'inversa di \(A\) non quadrata, si può definire un inversa sinistra, un inversa destra, ma un inversa? Se esistesse avremmo
\[ I_n = AB = BA = I_m \]
quindi \(n=m \) e quindi la matrice è quadrata.

E per il determinante si può ma ad esempio non è più vero che \( \det(AB) = \det(A) \det (B) \) e questa cosa viene utilizzata nella dimostrazione che \( \det A \neq 0 \) se e solo se \( A \) invertibile.

[axpgn]

"3m0o": ma quello è un errore perché il teorema di algebra afferma ...

Vabbè ma che c'entra? Lo sappiamo cosa afferma il teorema ma non puoi dire che il ragionamento è sbagliato perché c'è un teorema che afferma il contrario, quello che va trovato è l'errore logico o espressivo non so se mi spiego ...

"3m0o":quindi l'ultima frase per essere vera usa il fatto che \( A \) è \( n \times n \) nulla invece ci dice che se hai una matrice \( n \times m \) questa cosa è vera.

No, non fa nessuna assunzione implicita, si limita a trarre una conseguenza dalle due affermazioni precedenti (corrette).

Se ho lasciato il testo in lingua originale ci sarà un motivo ...

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Mi sa che non hai capito cosa voglio dire. Il teorema non afferma il contrario. Ma il ragionamento è

Dimostrazione:
Supponiamo \(A\) matrice non quadrata dopo dei ragionamenti deduciamo che \( \det A \neq 0 \), quindi concludiamo grazie al teorema che afferma che \( \det A \neq 0 \) è equivalente a dire \( A \) invertibile, deduciamo che \(A\) è invertibile.

L'errore sta nella conclusione, non può usare un teorema perché un ipotesi del teorema non è soddisfatta. Punto!

È un po' come se tu mi dicessi:
Proposizione 1: Ogni funzione derivabile su \( \mathbb{R} \) è continua \( \mathbb{R} \).


Abbiamo quindi che grazie alla proposizione 1 la funzione \(f(x)= \left|x \right| \) è continua. No! Chisse frega se è continua ma questo ragionamento è sbagliato perché l'ipotesi di derivabilità su \( \mathbb{R} \) di \( \left| x \right| \) non è soddisfatta. In questo caso della funzione la conclusione è corretta il ragionamento no! Nel caso tuo delle matrici il ragionamento no (per lo stesso motivo) e nemmeno la conclusione.

Il ragionamento arriva a dire \( \det A \neq 0 \) ma la seconda ipotesi del teorema che \(A \) è quadrata non è soddisfatta... poi il modo discutibilissimo in cui arriva a dire che \( \det A \neq 0 \) è un altro discorso

"axpgn":... c'è un teorema che afferma il contrario...

Il teorema non afferma il contrario! Non dice nulla sulle matrici non quadrate, ma dice cose su matrici quadrate.

Edit:

Poi ho semplicemente aggiunto il fatto che indipendentemente dal fatto che tu possa o meno estendere il concetto di determinante per una matrice non quadrata, non puoi estendere il concetto di inversa per una matrice inversa (che lo sia a destra e a sinistra) per una matrice non quadrata, dunque una qualunque proposizione del tipo sia \( A \) una matrice \( n \times m \), se \( \det (A) \neq 0 \) allora \(A \) è invertibile, non ha senso quindi fine della storia. Poi magari è vero (questo non lo so) una delle due seguenti:
Sia \( A \) una matrice \( n \times m \), se \( \det (A) \neq 0 \) allora \(A \) è invertibile a sinistre (o a destra)

[axpgn]

Facciamo così, se no non ne veniamo fuori come al solito (per inciso, ho scritto "afferma il contrario" per modo di dire ovvero non è importante cosa dice o non dice il teorema, ok? )

Limitati a prendere per buone le prime due affermazioni: perché la terza sarebbe sbagliata? (Senza fare altre assunzioni ... per ora )

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Io penso di sapere dove vuoi arrivare eh... non so come si chiama ma è un errore nei sillogismi aristotelici. È il medesimo (credo) di
1) Nessuno è meglio di Dio
2) Io non sono nessuno
3) Io sono meglio di Dio

Però guarda che ho dato per vere 1) e 2) ma comunque la 3) è falsa perché NON può concludere con il teorema! Ed è un errore molto grave perché si dimentica di verificare un ipotesi.

Perché io dico un'altra cosa, in matematica esiste il teorema seguente

Teorema 3m0o: Se io non sono nessuno e non sono umano allora sono meglio di Dio

Io dico che c'è un secondo errore differente, che è: se 1) e 2) sono valide da sole e se il ragionamento non contenesse nessun errore logico (cosa che invece contiene, ma supponi di no) allora sarebbe comunque sbagliato perché per concludere applica un teorema che non può essere applicato perché il Teorema 3m0o possiede due ipotesi e me ne ha dimostrata una sola indipendentemente dal fatto che lo ha fatto in modo errato. Per non essere presente l'errore che dico dovremmo avere qualcosa del tipo

1) Nessuno è meglio di Dio
2) Io non sono nessuno e non sono umano
3) Io sono meglio di Dio (per il teorema 3m0o)

[vict85]

Magari dico una fesseria dato che ho lasciato l'università da un bel po'. Ma il punto sta nel fatto che un non-valore non corrisponde a nessun valore ma nella possibilità di ogni valore. Quindi è che è sbagliato dire che \(\mathrm{det}(A) \neq 0\) perché \(\mathrm{det}(A)\) è 0 in "potenza". Non so se mi sono spiegato, è legato al fatto che la contraddizione in logica implica qualsiasi cosa.
Detto questo è anche evidente che il teorema a cui si fa riferimento dichiara esplicitamente che \(A\) è una matrice quadrata.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Esatto! È quello che dicevo io, e siccome puoi certamente estendere il determinante a matrici rettangolari quello che dicevo io è che l'ultima frase è sbagliata di per se se la matrice non è quadrata per assunzione, perché esistono matrici \(n\times m \) con \(n \neq m \) tale che \( \det A \neq 0 \) ma \(A\) non è invertibile!

[vict85]

Non proprio, quello che dicevo io nell'ultima frase è semplicemente che non puoi usare un teorema sulle pere per le mele solo perché sono entrambi frutti.

Il secondo è più filosofico e afferma che se una funzione non è definita per un valore \(a\) allora \(f(a) = b \wedge f(a)\neq b\) è vera per ogni \(b\) nel codominio.

[axpgn]

La soluzione

Si fa per dire, perché LA soluzione non esiste, ci sono invece diversi punti di vista, il più gettonato è il seguente:

"Which step of the proof is in error? Step (1) and Step (2) pass muster. So the difficulty resides in Step (3).
But here the student was quoting directly from the text. So maybe the text writer was not sufficiently careful in formulating the result.
Instead of the statement, -If det A is not zero, then A is invertible- the text should have had -If det A is nonzero, then A is invertible-.
In the later case, the hypothesis makes it clear that the determinant has a value and it is not zero."

Una considerazione aggiuntiva:

"A good joke always teaches us something and this business about a nonsquare matrix having an inverse because its (nonexistent) determinant is not equal to 0 is a case in point.
The positive version of this theorem is more general, clearer and follows more directly from the proof.
A matrix over a commutative ring R is invertible if and only if its determinant is invertible in R.
A ring theorist would surely state the result this way."

Cordialmente, Alex

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Ma porca miseria.... e io cosa ho detto?!

"axpgn":
A is nonzero, then A is invertible-.
In the later case, the hypothesis makes it clear that the determinant has a value and it is not zero."

"3m0o":
Comunque l'errore sta nel fatto che in 3) si assume implicitamente che \(A\) sia una matrice quadrata e che il determinante esiste ed è un'unità, poiché sia il determinante che una matrice invertibile sono definite solo per matrici quadrate.

Che tra l'altro lo volevo formulare inizialmente quasi come il ring theorist ma l'avrei formulato così
A square matrix over a commutative ring R is invertible if and only if its determinant is a unit in R.

"axpgn":
The positive version of this theorem is more general, clearer and follows more directly from the proof.
A matrix over a commutative ring R is invertible if and only if its determinant is invertible in R.
A ring theorist would surely state the result this way.

"3m0o":Il fatto che ci possa essere un altro errore non lo escludo, ma quello è un errore perché il teorema di algebra afferma
Sia \( A \) una matrice \( n \times n \) a coefficienti in un campo allora le due affermazioni sono equivalenti
1) \( \det A \neq 0 \)
2) \( A \) è invertibile

"3m0o":
[...] e questa cosa viene utilizzata nella dimostrazione [...]

[axpgn]

No, non hai detto quello!
Il tuo approccio (che hai usato anche alte volte, tipo "le buste" ) è di questo tipo (provo a spiegarmi con un esempio se ci riesco): ci sono tante dimostrazioni fallaci che portano alla conclusione che sia $1=2$.
Tu, invece di cercare il punto dolente della prova, dici: "Siccome sappiamo che $1!=2$ allora non è possibile che ..."
Nel nostro caso è una questione di "wording", di formulazione.
Se il teorema che lo studente ha letto è esattamente come lo ha riportato, allora ha ragione, dal punto di vista logico, perché ha genuinamente dimostrato vero quell'enunciato (in quanto se al fine dell'invertibilità di una matrice è sufficiente che il determinante NON sia zero ("is NOT zero") allora qualsiasi cosa sia, anche non esistente purché diverso da zero, la matrice è invertibile).
In conclusione, il punto fallace e cruciale è stato usare una formulazione "errata".
Ok?

Cordialmente, Alex

[vict85]

Sinceramente trovo che la sua spiegazione sia un po' alla buona e basata su una sottigliezza linguistica. Tra l'altro in italiano non userei nonnullo per riferirsi al determinante, anche se ha ovviamente senso parlare di invertibilità.
Di fatto l'errore sta non tanto nella lingua ma nell'approccio alla "Analisi Matematica 1" in cui una funzione non nasce con un suo dominio di definizione. Insomma se tu ti riferisci al determinante allora la matrice deve possedere il determinante, e quindi deve essere quadrata. Insomma, stiamo parlando di una funzione determinante specifica, con un suo dominio, codominio e definizione, non di una qualsiasi funzione chiamata determinante che la estende. Quindi il punto è che lo studente ha dimenticato una delle ipotesi e presentato il teorema "alla buona". Molti libri tra l'altro scriverebbero il teorema con questa ipotesi scritta esplicitamente.

[axpgn]

"vict85":... basata su una sottigliezza linguistica.

Sì ma fondamentale ed è l'aspetto che si voleva mettere in evidenza ovvero che ci vuole poco a confondere le acque.

"vict85": Tra l'altro in italiano non userei nonnullo per riferirsi al determinante, ...

E difatti l'ho lasciato in lingua originale, in italiano non avrebbe retto ...

"vict85":Di fatto l'errore sta non tanto nella lingua ... ...

Qui, a mio parere, fai lo stesso errore (si fa per dire) di 3m0o ovvero è ovvio che queste "dimostrazioni" fallaci contrastino con qualche teorema ben "stabilizzato", non è questo il punto del "gioco", sarebbe (sempre) banale.
L'obiettivo, invece, è cogliere il punto (o i punti) cruciali (e fallaci) del ragionamento logico, peraltro senza utilizzare surrettiziamente nelle ipotesi il fatto che esista già un teorema che attesta una conclusione diversa ma limitandosi al contesto, alle affermazioni fatte.
IMHO

Cordialmente, Alex

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Editato

"axpgn":Tu, invece di cercare il punto dolente della prova, dici: "Siccome sappiamo che $ 1!=2 $ allora non è possibile che ..."
Nel nostro caso è una questione di "wording", di formulazione.

Oddio... no! Non dico questo non mi hai capito!

"axpgn":L'obiettivo, invece, è cogliere il punto (o i punti) cruciali (e fallaci) del ragionamento logico

La fallacia del ragionamento: è l'applicazione di un teorema per la conclusione che non può essere utilizzato.

Proposizione 1 : \( \text{non} I \Rightarrow C\)
Dimostrazione:
\(\text{non} I \Rightarrow A \), \( A \Rightarrow B\), siccome Teorema \(T\) afferma che \(B \Rightarrow C \) abbiamo che \(\text{non} I \Rightarrow C\).

Il problema della dimostrazione è che il Teorema \(T\) non afferma \(B \Rightarrow C \) ma afferma \( I \Rightarrow ( B \Leftrightarrow C )\).

Errore del ragionamento è che dice una cosa falsa...

Errore: Non si può usare \(T \) per concludere e nota bene che \(T \) non afferma nemmeno \(\text{non} I \Rightarrow \text{non} C \), afferma una cosa molto ben differente! Nessuna informazione possiamo trarre se abbiamo come ipotesi \( \text{non} I \).

Poi c'è un secondo errore perché è falso che
\( A \Rightarrow B\)

Siccome non è vero che \( A \Rightarrow B \) e questo è l'errore di "lingua", nel senso che la non esistenza di un oggetto è diverso da dire che un oggetto esiste e vale qualcosa che non è zero.