Nel far west

[FreddyKruger]

Un cubo col lato di 20cm è stato ottenuto incollando tra loro 8000 cubetti col lato di un centimetro.
Un pistolero lo getta in aria e gli spara una pallottola (che supponiamo puntiforme!) che lo trapassa da parte a parte.
Qual è il massimo numero di cubetti che può aver bucato?

Risposta

58

[axpgn]

C'era già stato un problema simile ma sul piano ...

Prendendo la retta via ( ) per andare da un lato al lato opposto si entra nel primo quadrato e poi si "tagliano" $19$ "linee di confine" tra una colonna di quadrati e l'altra e altrettante tra una fila di quadrati e l'altra; accade lo stesso per la terza dimensione.
Quindi in totale $19*3+1=58$.
Se prendi una retta che passa per qualche spigolo, anche meno

Cordialmente, Alex

[FreddyKruger]

Quindi se non ho capito male una volta "entrati" nel primo quadratino, sono 19 passaggi per ogni dimensione, giusto?

[axpgn]

Sì, ma ti ho spiegato perché ... prova a rifarlo con un rettangolo $4 xx 3$ o $7 xx 11$

[FreddyKruger]

Per il rettangolo 4x3 mi vengono 6 quadratini, per il 7x11 me ne vengono 17, se è corretto forse ho capito.

[axpgn]

Yes

[FreddyKruger]

La mia idea era piuttosto banale. Se mi posizionassi frontalmente ad un lato qualsiasi del rettangolo vedrei la pallina attraversare tutti i cubetti in cui quel lato del rettangolo è stato suddiviso. Questo vale per entrambi i lati quindi generalmente se parliamo di un rettangolo la pallina attraversa un numero di quadretti minore o uguale alla somma dei due lati meno uno. Ciò avviene perchè osservando da entrambi i lati conto il quadratino iniziale due volte.
Per il problema iniziale penso che questo stesso ragionamento vada esteso a 3 dimensioni, non è immediato da trovare, non mi sarebbe venuto in mente in gara.

[axpgn]

Attento però, guarda a cosa succede ad una diagonale del rettangolo $4 xx 6$

[FreddyKruger]

Ok mi pare di capire che questo non vale sempre, ci dovrò perdere un po' più di tempo

[axpgn]

Era solo per evidenziare casi particolari (diagonali su lati non coprimi)