Massimo e minimo ... molto particolari

[Erasmus_First]

Introduzione
Ci sono numeri interi positvi con la seguente proprietà:
“Lo spostarne le ultime due cifre dalla coda alla testa equivale a moltiplicarli per tre".
Sia, per esempuo n = 2608695652173913043478. Allora si ha:
3·n = 3·2608695652173913043478 = 7826086956521739130434.

Il quiz
Trovare il più picolo ed il più grande intero positivo con la proprietà detta nella Introduzione.
________

[Super Squirrel]

30--> 100334448160535117056856187290969899665551839464882943143812709030
31--> 103678929765886287625418060200668896321070234113712374581939799331
32--> 107023411371237458193979933110367892976588628762541806020066889632
33--> 110367892976588628762541806020066889632107023411371237458193979933
34--> 113712374581939799331103678929765886287625418060200668896321070234
35--> 117056856187290969899665551839464882943143812709030100334448160535
36--> 120401337792642140468227424749163879598662207357859531772575250836
37--> 123745819397993311036789297658862876254180602006688963210702341137
38--> 127090301003344481605351170568561872909698996655518394648829431438
39--> 1304347826086956521739
40--> 133779264214046822742474916387959866220735785953177257525083612040
41--> 137123745819397993311036789297658862876254180602006688963210702341
42--> 140468227424749163879598662207357859531772575250836120401337792642
43--> 143812709030100334448160535117056856187290969899665551839464882943
44--> 147157190635451505016722408026755852842809364548494983277591973244
45--> 150501672240802675585284280936454849498327759197324414715719063545
46--> 153846
47--> 157190635451505016722408026755852842809364548494983277591973244147
48--> 160535117056856187290969899665551839464882943143812709030100334448
49--> 163879598662207357859531772575250836120401337792642140468227424749
50--> 167224080267558528428093645484949832775919732441471571906354515050
51--> 170568561872909698996655518394648829431438127090301003344481605351
52--> 1739130434782608695652
53--> 177257525083612040133779264214046822742474916387959866220735785953
54--> 180602006688963210702341137123745819397993311036789297658862876254
55--> 183946488294314381270903010033444816053511705685618729096989966555
56--> 187290969899665551839464882943143812709030100334448160535117056856
57--> 190635451505016722408026755852842809364548494983277591973244147157
58--> 193979933110367892976588628762541806020066889632107023411371237458
59--> 197324414715719063545150501672240802675585284280936454849498327759
60--> 200668896321070234113712374581939799331103678929765886287625418060
61--> 204013377926421404682274247491638795986622073578595317725752508361
62--> 207357859531772575250836120401337792642140468227424749163879598662
63--> 210702341137123745819397993311036789297658862876254180602006688963
64--> 214046822742474916387959866220735785953177257525083612040133779264
65--> 2173913043478260869565
66--> 220735785953177257525083612040133779264214046822742474916387959866
67--> 224080267558528428093645484949832775919732441471571906354515050167
68--> 227424749163879598662207357859531772575250836120401337792642140468
69--> 230769
70--> 234113712374581939799331103678929765886287625418060200668896321070
71--> 237458193979933110367892976588628762541806020066889632107023411371
72--> 240802675585284280936454849498327759197324414715719063545150501672
73--> 244147157190635451505016722408026755852842809364548494983277591973
74--> 247491638795986622073578595317725752508361204013377926421404682274
75--> 250836120401337792642140468227424749163879598662207357859531772575
76--> 254180602006688963210702341137123745819397993311036789297658862876
77--> 257525083612040133779264214046822742474916387959866220735785953177
78--> 2608695652173913043478
79--> 264214046822742474916387959866220735785953177257525083612040133779
80--> 267558528428093645484949832775919732441471571906354515050167224080
81--> 270903010033444816053511705685618729096989966555183946488294314381
82--> 274247491638795986622073578595317725752508361204013377926421404682
83--> 277591973244147157190635451505016722408026755852842809364548494983
84--> 280936454849498327759197324414715719063545150501672240802675585284
85--> 284280936454849498327759197324414715719063545150501672240802675585
86--> 287625418060200668896321070234113712374581939799331103678929765886
87--> 290969899665551839464882943143812709030100334448160535117056856187
88--> 294314381270903010033444816053511705685618729096989966555183946488
89--> 297658862876254180602006688963210702341137123745819397993311036789
90--> 301003344481605351170568561872909698996655518394648829431438127090
91--> 3043478260869565217391
92--> 307692
93--> 311036789297658862876254180602006688963210702341137123745819397993
94--> 314381270903010033444816053511705685618729096989966555183946488294
95--> 317725752508361204013377926421404682274247491638795986622073578595
96--> 321070234113712374581939799331103678929765886287625418060200668896
97--> 324414715719063545150501672240802675585284280936454849498327759197
98--> 327759197324414715719063545150501672240802675585284280936454849498
99--> 331103678929765886287625418060200668896321070234113712374581939799

Process returned 0 (0x0)   execution time : 0.298 s
Press any key to continue.

Poi magari con calma ci ragiono un po' di più sul problema!

[Super Squirrel]

$3n=3cdotoverbrace{?...}^{x}overbrace{??}^{k}=overbrace{??}^{k}overbrace{?...}^{x}=n'=>3(100x+k)=10^mk+x=>x=(k(10^m-3))/(13*23)$

- $kequiv0mod23=>(10^m-3)equiv0mod13=>m=4$;

- $kequiv0mod13=>(10^m-3)equiv0mod23=>m=20$;

- $(10^m-3)equiv0mod13cdot23=>m=64$;

Dal momento che $n$ e $n'$ devono avere lo stesso numero di cifre si deduce che la prima cifra di $n$ può essere $1,2,3$ e quindi $kin[30;99]$.
E quindi in definitiva $x_min$ si ha per $m=4$ e $k=46$, mentre $x_max$ si ha per $m=64$ e $k=99$.

$m=4$ e $m=20$ li ho ottenuti mettendo in colonna le operazioni $13cdot?$ e $23cdot?$ ed imponendo che il prodotto sia nella forma $9...97$ (per $m=64$ mi fido del risultato fornito dal PC ). Poi magari ci ragiono un po' di più su questo punto.

EDIT:
Mi rimangio la parte sul massimo, sto valutando la "periodicità" degli $m$.

[axpgn]

Il più piccolo dovrebbe essere:
$153846$ (il suo triplo è $461538$)

Il più lungo dovrebbe essere:
$331103678929765886287625418060200668896321070234113712374581939799$
(il suo triplo è $993311036789297658862876254180602006688963210702341137123745819397$)


$n=a_na_(n-1)a_(n-2)a_(n-3)......a_3a_2a_1a_0$

$n/3=m=a_(n-2)a_(n-3)......a_3a_2a_1a_0a_na_(n-1)$

$x=a_na_(n-1).a_(n-2)a_(n-3)......a_3a_2a_1a_0ar(a_na_(n-1)a_(n-2)a_(n-3)......a_3a_2a_1a_0)$

$x/100=y=0.ar(a_na_(n-1)a_(n-2)a_(n-3)......a_3a_2a_1a_0)$

$x-a_na_(n-1)=z=0.ar(a_(n-2)a_(n-3)......a_3a_2a_1a_0a_na_(n-1)$

$z=y/3$

$x-a_na_(n-1)=x/300$

$300x-x=300*(a_na_(n-1))$

$x=300/299*(a_na_(n-1))$

Cordialmente, Alex

[Super Squirrel]

"Super Squirrel":EDIT:
Mi rimangio la parte sul massimo, sto valutando la "periodicità" degli m.

Questi i valori di $m$ con le "periodicità":

- $kequiv0mod23=>(10^m-3)equiv0mod13=>m=4+6a,ainN$;

- $kequiv0mod13=>(10^m-3)equiv0mod23=>m=20+22a,ainN$;

- $(10^m-3)equiv0mod13cdot23=>m=64+66a,ainN$.

Quindi $x_min$ si ha per $m=4$, $a=0$ e $k=46$ (ossia $n_min=153846$), mentre, vista la periodicità, non ha molto senso parlare di un massimo.

[axpgn]

@Super Squirrel

Allora ... il massimo esiste con la condizione che non si possano ripetere le stesse cifre ovvero, per esempio, $153846$ funziona ma funziona anche $153848153846$ che però si esclude.
Probabilmente Erasmus lo dava per scontato ...

Cordialmente, Alex

[Super Squirrel]

@axpgn

Chiedo venia per l'eccessiva puntigliosità!
Scherzi a parte avevo già pensato a questa condizione implicita, e infatti nel precedente post ho scritto

"Super Squirrel":mentre $x_max$ si ha per $m=64$ e $k=99$.

[Erasmus_First]

"axpgn":

Il più piccolo dovrebbe essere:
153846 (il suo triplo è 461538)

Bravo Alex!

"axpgn":

Il più lungo dovrebbe essere:
331103678929765886287625418060200668896321070234113712374581939799
(il suo triplo è 993311036789297658862876254180602006688963210702341137123745819397)

Perché hai cambiato "il maggiore" con "il più lungo"? Ci sono più numeri con la proprietà richiesta dal quiz e la stessa lunghezza (66 cifre) del numero che hai trovato tu!

"axpgn":

@Super Squirrel
Allora ... il massimo esiste con la condizione che non si possano ripetere le stesse cifre ovvero, per esempio, $153846$ funziona ma funziona anche $153848153846$ che però si esclude.
Probabilmente Erasmus lo dava per scontato ..

Grazie, Alex!
No, non davo per scontato quel che dici; semplicemente non me n'ero ancora accorto, e pensavo che il massimo ci fosse. (e che tu l'avessi trovato).
In effetti questo quiz l'ho fatto modificando un quiz analogo che chiedeva il minimo intero positivo tale che lo spastarne la prima cifra dalla testa alla coda equivaleva a moltiplicarlo per 3/2. La soluzione comportava una divisione per 17 (e quindi quoziente periodico con periodo di 16 cifre). Similmente, nella mia variante c'è da dividere per 299 il prodotto di due numeri di cui uno ha due cifre e l'altro ... qunate ne bastano!. Se 299 fosse primo il minimo intero con la voluta proprietà avrebbe 66 cifre.Ma 299 = 13·23 e allora ci sono soluzioni con 6 cifre (che sono il periodo di quozienti di divisioni per 13) tra le quali due consecutive rappresentano multipli di 23 e soluziioni con 22 cifre (che sono il periodo di quozinrti di divisioni per 23) tra le quali ci sono coppie di cifre consecutive che rappresentano multipli di 13, E infine ci sono soluzioni con 66 cifre che sono il periodo di quozienti di divisioni per 299.
Il minimo 153846 è il periodo di 2/13 e vedi che termina con 46 che è un multiplo di 23.

________

[axpgn]

@Erasmus_First

"Erasmus_First":Perché hai cambiato "il maggiore" con "il più lungo"?

Perché mi è venuto così, senza pensarci
Lo sapevo che ce n'erano tanti di quella lunghezza (quasi tutti) ma non mi sono accorto dell'imprecisione

Cordialmente, Alex

[Super Squirrel]

Noto che l'OP ha del tutto ignorato i miei post!

[axpgn]

L'hai spaventato con tutti quei numeri verdi ... e comunque dagli tempo