Massimo comun divisore...massimo

[dan952]

Sapendo che il prodotto di due numeri è 600000, quanto potrà valere al massimo il loro massimo comun divisore?

[axpgn]

200

[dan952]

Exact!

[Erasmus_First]

"dan95":Sapendo che il prodotto di due numeri è 600000, quanto potrà valere al massimo il loro massimo comun divisore?

In generale, scomposto un numero in fattori primi, affinche eso sia il prodotto di due fattori con massimo divisore maggiore di 1 occorre che ci sia qualche fattore primo non semplice. Il numero, se ha piu fattori di due fattori primi, può essere prodotto di fattori in più modi. Quelli col massimo comun divisore massimo possibile sono quelli in cui i fattori primi non seplici sono spartiti il più equilibratamente possibike tra i due fattori.
Venendo al quiz specifico, siccome
$600.000 = 2^6·3·5^5$,
il massimo che si può spatire cercando il massimo equilibri possibole dei fattori primi non semplici è assegnare $2^3·5^2$ ad un fattore e $2^3·5^3$ all'altro (e il 3 a piacere a questo o quell'altro fattore).
Insomma:i due fattori devono essere del tipo
$f_1 = a·2^3·5^2 =$ a·200; $f_2= b·2^3·5^2 =$ b·200;
dove a e b sono due interi positivi tali che $a·b = 3·5 = 15$.
Il massimo dei possibli $MCD(f_1, f_2)$ è dunque 200.

Ciao, dan95

_______

[dan952]

Bravo!

[axpgn]

Il ragionamento che ho fatto è simile ...

Il massimo MCD si ha quando è minimo il mcm perché $mcm(a,b)*MCD(a,b)=a*b=N$

Dato $N=a*b=p_1^(a_1)*p_2^(a_2)*...*p_n^(a_n)$ il minimo mcm lo avremo "spartendo" gli esponenti nel modo più equilibrato possibile ovvero il minimo mcm sarà

[size=150]$text(mcm)_min=p_1^(\ceil(a_1/2))*p_2^(\ceil(a_2/2))*...*p_n^(\ceil(a_n/2))$[/size]

Dato che in questo caso abbiamo $N=2^6*3*5^5$, il minimo mcm sarà $2^3*3*5^3=3000$ da cui il massimo $MCD=600000/3000=200$

Cordialmente, Alex