Lucky Numbers

[axpgn]

Un intero è detto "lucky" se è la somma di interi positivi (non necessariamente distinti) i cui reciproci sommano $1$.
Per esempio, $4$ e $11$ sono lucky: $4=2+2$ e $1/2+1/2=1$; $11=2+3+6$ e $1/2+1/3+1/6=1$.
Ma $2, 3, 5$ sono "unlucky".

Quanti "unlucky numbers" esistono?


Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Infiniti perché sono lucky anche tutti gli infiniti quadrati. Infatti $n^2$ è la somma di $n$ numeri $n$ e la somma dei loro inversi è $n*1/n=1$.
Se si aggiunge la condizione che tutti i numeri siano diversi fra loro, ho l'impressione che 11 sia l'unico lucky. Ma è solo un'impressione e mi piacerebbe vederla confermata o smentita.

[axpgn]

Non ho capito bene: ti stai riferendo ai "lucky" o agli "unlucky"?

La domanda è: quanti sono gli "unlucky numbers"?

[giammaria2]

Hai ragione; avevo letto male e mi riferivo al lucky. Adesso ci ripenserò.

[Cosimo.14]

Infiniti.

Considero \(\displaystyle A = a_1 + … + a_n \)

Se \(\displaystyle A \) é Lucky si ha \(\displaystyle 1/(a_1) + … + 1/(a_n) = 1 \)

E quindi \(\displaystyle A/(a_1* …*a_n) = 1 \)

Da cui \(\displaystyle A = a_1* …*a_n \)

E quindi detto \(\displaystyle p \) primo se \(\displaystyle A = (p_1)^{m_1}* … *(p_n)^{m_n} \)

Deve essere \(\displaystyle a_i = (p_1)^{i_1}* …*(p_n)^{i_n} \)

E deve essere \(\displaystyle a_i \) diverso da \(\displaystyle A \)

Basta scegliere \(\displaystyle A = p \)

Ops, non è vero, ho sbagliato la somma di frazioni.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Scrivo un po' di idee che ho avuto. Siccome la mia soluzione non è elementare, sospetto che non sia la più semplice.

Risposta: ci sono solo un numero finito di numeri unlucky. In altre parole, ogni numero abbastanza grande è lucky.

Argomenti. Se $a in QQ$, chiamiamo un numero intero positivo $a$-lucky se è uguale a una somma di interi positivi $x_1+...+x_n$ e vale $1/x_1+...+1/x_n=a$. Quindi un numero è lucky se e solo se è $1$-lucky. Allora si vede facilmente (ragionando nel modo ovvio) che
(1) Una somma di $a$ numeri $b$-lucky è $ab$-lucky.
(2) Se $x$ è $a$-lucky e $y$ è $b$-lucky allora $xy$ è $ab$-lucky.
Ovviamente ogni numero $m$ è $1/m$-lucky (scegliamo $n=1$ e $x_1=m$) quindi da (1) ogni quadrato è lucky (scegliendo $m$ numeri uguali ad $m$). Da (1) segue che una somma di $4$ quadrati è $4$-lucky. Quindi da (2) segue che, se $x,y,z,w$ sono interi positivi, allora $4(x^2+y^2+z^2+w^2)$ è lucky.

Siccome ogni numero intero positivo abbastanza grande (tipo, maggiore di $20$) è somma di $4$ quadrati non nulli (qui in realtà sto barando perché questo non è proprio vero per tutti i numeri ... ma penso che ci siano abbastanza idee per correggere questo dettaglio) otteniamo che ogni multiplo di $4$ abbastanza grande è lucky.

Quindi da (2) moltiplicando per $2$ un multiplo di $4$ otteniamo che ogni multiplo di $8$ abbastanza grande è $1/2$-lucky. Siccome (per (1)) una somma di $2$ numeri $1/2$-lucky è lucky, per concludere basta trovare, per ogni classe $i$ modulo $8$, un numero intero positivo $1/2$-lucky che è congruo a $i$ modulo $8$. Possiamo prendere (seguono numeri $1/2$-lucky congrui a $1,...,7$ modulo $8$ e una sequenza $x$ degli $x_i$ nella definizione di $a$-lucky)
$9 equiv 1$ ------ $x=(3,6)$
$2 equiv 2$ ------ $x=(2)$
$27 equiv 3$ ------ $x=(3,12,12)$
$28 equiv 4$ ------ $x=(3,10,15)$
$29 equiv 5$ ------ $x=(4,5,20)$
$30 equiv 6$ ------ $x=(3,9,18)$
$39 equiv 7$ ------ $x=(6,6,9,18)$
Per la cronaca, con l'aiuto di un programma sembra che gli unici numeri unlucky siano i seguenti.
$2,3,5,6,7,8,12,13,14,15,19,21,23$.

[axpgn]

@Martino
Ben fatto

Un metodo alternativo ma non tanto è questo:

Se $n$ è lucky allora lo è anche $2n+2$ dato che se $n=a+b+...$ allora $1/2+1/2(1/a+1/b+...)=1$
Lo stesso vale per $2n+3+6$
Ora dato che $24$ è lucky tutti i numeri pari dal $50$ in poi e quelli dispari dal $57$ in poi sono lucky se lo sono quelli dal $24$ al $55$, verifica che è meglio fare con un computer
Rimangono da verificare quelli minori di $24$ ma si può fare anche a mano

La cosa buffa è che il numero di unlucky numbers è unlucky ovvero $13$ (forse si chiamano così per questo )

Cordialmente, Alex