Logica

[franco191]

Dei pali di altezza diversa sono piantati in modo da formare un reticolo con m file di n pali ciascuno. Si formano così m file orizzontali ed n file verticali. Indichiamo con $H_j (j=1,...,m)$ l'altezza del palo più alto sulla j-esima fila orizzontale e $h_i (i=1,..,n)$ l'altezza del palo più basso sulla i-esima fila verticale.
Dimostrare che: $min(H_1,...,H_m)\ge max(h_1,...,h_n)$

Potreste dirmi se è corretto?

Si ha che tutti i pali sulla stessa fila verticale in cui si trova $max(h_1,...,h_n)$ sono $\ge$ a esso.
Quindi $min(H_1,...,H_m) \ge$ al palo della sua fila orizzontale che appartiene anche alla fila verticale di prima (o può essere esso stesso in quella fila), da cui $min(H_1,...,H_m )\ge max(h_1,...,h_n)$

[Leonardo9P]

Praticamente se non ho capito male il testo

Immagino una matrice. Allora abbiamo che andando da J a M aumenta. Andando da I ad n diminuisce. perciò avendo Min-j (un minimo che può solo aumentare con valore minimo 1) e sapendo che il (max-i sarebbe il più piccolo della fila perchè decresce), si dimostra perciò vera la disequazione che vuole il Minj maggiore o uguale al Maxi.

[Vincent46]

Si tratta di una formulazione equivalente di questo problema

viewtopic.php?f=47&t=159957

[Erasmus_First]

"franco19":[...]
Potreste dirmi se è corretto?

Di scorretto ci vedo la parola "altezza", (da sostituire con "lunghezza").
Se penso pali piantati con diversa altezza, li penso tutti verticali .
Ma allora non va bene dire "file orizzontali" e "file verticali".
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Al posto di "linee orizzontali" e "linee verticali" penso che non sarebbe male dire rispettivamente "righe" e "colonne".
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Comunque, la dimostrazione mi pare facilissima!
Il minimo dei massimi di riga –diciamolo $H_(min)$ – sta in una certa riga, diciamo la r-esima. Il massimo dei minimi di colonna – diciamolo $h_(max)$ – sta in una certa colonna, diciamo la c-esima. Quella riga r-esima e quella colonna c-esima si intersecano in un elemento, diciamolo $x_(rc)$ che appartiene ad entrambe.
Allora:
• $x_(rc) ≤ H_(min)$ perché $x_(rc)$ sta nella riga r-esima di cui $H_(min)$ è il massimo.
• $x_(rc) ≥ h_(max)$ perché $x_(rc)$ sta nella colonna c-esima di cui $h_(max)$ è il minimo.
Pertanto $H_(min) ≥ x_(rc) ≥ h_(max)$ e di conseguenza $H_(min) ≥ h_(max)$.

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