Logaritmo e potenza

[axpgn]

Per quali numeri positivi $a$ e $b$, con $a>1$, l'equazione $log_a x = x^b$ ha soluzioni positive per $x$?


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Onestamente non capisco...

mi sembra che ci sia sempre una soluzione, che cosa sbaglio ???

[axpgn]

Non ho capito ... intendi dire che qualsiasi coppia $(a,b)$ va bene?
Per esempio $log_2 x = x^3$ non ha soluzioni reali.

[moccidentale]

.

[Quinzio]

Se le due curve
$f(x)= \log_a x$
$g(x) = x^b$

avessero un punto solo di tangenza dovrebbe verificarsi che:

$f(x)=g(x)$
e
$f'(x)=g'(x)$

$f'(x) = 1/(x \ln a)$
$g'(x)= bx^(b-1)$

$1/(x \ln a) = bx^(b-1) -> x = (b \ln a)^(-1/b)$

Poi se $f(x)= g(x)$ cioe'
$\log_a x = x^b$

sostituendo $x$

$-1/b \log_a (b \ln a) = 1/(b \ln a)$

$-\log_a (b \ln a) = 1/ \ln a$

$-(\log_a b + 1) = 1/ \ln a$

$-(\ln b / \ln a + \ln (\ln a) / \ln a) = 1/ \ln a$

$-(\ln b + \ln (\ln a) ) = 1$

$b = 1/(e \ln a)$

Soluzione $b < 1/(e \ln a)$

Un ripassone dei logaritmi !

[axpgn]

Bravi!

Eh, beh ... però mi piace di più scritta così [size=150]$1