Le luci dell'hotel
In un hotel con $N$ stanze numerate da $1$ a $N$, ciascuna stanza ha una luce che può essere rossa, verde o blu. Inizialmente, tutte le luci sono rosse. Arrivano $N$ ospiti all'hotel, ed ogni ospite $k$, in ordine, entra in tutte le stanze i cui numeri sono multipli di $k$ e cambia il colore della luce avanzandolo di $k$ posizioni nella sequenza rosso → verde → blu → rosso. Tuttavia, se la luce è verde quando l’ospite lascia la stanza, un gatto dispettoso la riporta a rossa.
Dimostrare che, alla fine del passaggio di tutti gli ospiti, tutte le stanze numerate $27 \mod 2025$ avranno la luce rossa.
Si tratta di un piccolo problema che ho inventato, di cui ho anche una soluzione. L'ho trovato piuttosto interessante, quindi ve lo lascio come esercizio (o per divertimento). Qualora nessuno riuscisse a risolverlo entro qualche settimana, proporrò la mia dimostrazione.
Dimostrare che, alla fine del passaggio di tutti gli ospiti, tutte le stanze numerate $27 \mod 2025$ avranno la luce rossa.
Si tratta di un piccolo problema che ho inventato, di cui ho anche una soluzione. L'ho trovato piuttosto interessante, quindi ve lo lascio come esercizio (o per divertimento). Qualora nessuno riuscisse a risolverlo entro qualche settimana, proporrò la mia dimostrazione.
Risposte
La soluzione proposta da 3m0o naturalmente è corretta; il problema tuttavia nasconde altro di potenzialmente interessante:
"3m0o":
Hai ragione, mi sono reso conto sta notte del