Lattice points

[axpgn]

Consideriamo un piano cartesiano e la rete di punti a coordinate intere, il cosiddetto "lattice".

Dimostrare che una circonferenza centrata in $(sqrt(2), sqrt(3))$ può passare, tramite un'opportuna scelta del raggio, attraverso ogni punto del lattice ma che non esistono circonferenze con questo centro che passino attraverso due o più punti del lattice.


Cordialmente, Alex

[megas_archon]

Praticamente stai chiedendo questo: dati due numeri interi \((a,b)\) esiste un $r_{a,b}>0$ tale che l'equazione \((X-\sqrt 2)^2 + (Y-\sqrt 3)^2 = r_{a,b}\) ha esattamente una soluzione in \((a,b)\), ma mai due o più. Uhm, non è che basta sostituire e scegliere \(r = (a-\sqrt 2)^2 + (b-\sqrt 3)^2\)? Certamente questo è un r che va bene, e non è mai 0 perché $a,b$ sono interi (quindi è sempre positivo stretto). A questo punto dovrebbe essere una mera questione di "risolvere un'equazione" quella di trovare che se
\[(a-\sqrt 2)^2 + (b-\sqrt 3)^2 = (a'-\sqrt 2)^2 + (b'-\sqrt 3)^2\] allora \(a=a'\) e \(b=b'\). No?

Quasi certamente è vera una cosa più generale: data una coppia di vettori linearmente indipendenti $v,w$ di \(\mathbb Q^2\), il reticolo discreto \(\Gamma_{v,w}\) generato dai due si definisce come il gruppo abeliano generato dall'insieme \(\{u,v\}\), ossia l'insieme delle combinazioni lineari a coefficienti interi \(\{pv+qw\mid p,q\in\mathbb Z\}\). Adesso, pensando questo reticolo discreto come un sottoinsieme di \(\mathbb R^2\), e scegliendo due numeri irrazionali \(x,y\notin\mathbb Q\), dovrebbe potersi dimostrare che dato un generico punto del reticolo la circonferenza di centro $(x,y)$ contiene, per una opportuna scelta del raggio, esattamente il punto del reticolo scelto, e nessun altro.

Un problema simile, per raggi interi, si risolve con gli interi di Gauss, ma lì le soluzioni sono altamente non uniche.

[Quinzio]

Ipotizziamo che tale circonferenza esista e siano $A = (x_A, y_A)$ e $B = (x_B, y_B)$ due punti del lattice dove passa la circonferenza. Quindi $x_A, x_B, y_A, y_B \in ZZ$
Consideriamo la corda $AB$ e la perpendicolare al suo punto medio di coordinate $(x_M/2, y_M/2)=((x_A+x_B)/2, (y_A+y_B)/2)$.
Siccome $x_A, x_B, y_A, y_B \in ZZ$ allora $x_M, y_M \in ZZ$
La corda giace su una retta con coefficiente angolare $m_1 = (y_A-y_B)/(x_A-x_B)$ che e' un numero razionale, $m_1 \in QQ$
La perpendicolare ha invece coefficiente angolare $m_2 = -1/m_1 \in QQ$
La perpendicolare passa per il centro della circonferenza di coordinate $(\sqrt2, \sqrt3)$ e quindi il suo coefficiente angolare e' anche $m_2= (y_M/2 -sqrt3)/(x_M/2 -sqrt2)$
D'altra parte
$m_2= (y_M/2 -sqrt3)/(x_M/2 -sqrt2) = (y_M -2sqrt3)/(x_M - 2sqrt2) = (y_Mx_M + y_M 2\sqrt 2 - x_M 2\sqrt3- 4\sqrt 6)/ (x_M - 8) \in RR \notin QQ$

Quindi $m_2 \in QQ$ ma anche $m_2\notin QQ$, il che e' assurdo e quindi la circonferenza non esiste.

[otta96]

"megas_archon":e scegliendo due numeri irrazionali \(x,y\notin\mathbb Q\), dovrebbe potersi dimostrare che dato un generico punto del reticolo la circonferenza di centro $(x,y)$ contiene, per una opportuna scelta del raggio, esattamente il punto del reticolo scelto, e nessun altro.

Devi porre anche qualche condizione su $x$ e $y$, perchè altrimenti nell'esempio originale, se $(x,y)=(sqrt2,sqrt2)$, una circonferenza che ha quel centro, se passa per $(a,-a)$ con $a$ intero, passa anche per $(-a,a)$, forse basta che $x$ e $y$ siano razionalmente indipendenti.

[megas_archon]

Certo, qualcosa del genere va assunto.

[otta96]

Partendo da $(a-sqrt2)^2 + (b-sqrt 3)^2 = (a_1-sqrt 2)^2 + (b_1-sqrt 3)^2$ si ha $0=a^2-a_1^2-2sqrt2(a-a_1)+b^2-b_1^(2)-2sqrt3(b-b_1)\inZZ[sqrt2,sqrt3]$ e gli elementi di $ZZ[sqrt2,sqrt3]$ sono $0$ in particolare se, in questo caso, $a-a_1=0$ e $b-b_1=0$, da cui la tesi.
Se vuoi la dimostrazione di questa cosa: partendo da $asqrt2+bsqrt3\inZZ$ con $a,b\inZZ$, si ha $2a^2+2ab sqrt6+3b^2\inZZ=>2ab sqrt6\inZZ=>sqrt6\inQQvva=0vvb=0$, quindi dando per buono che le radici quadrate di interi che non sono quadrati perfetti sono irrazionali, almeno uno tra $a$ e $b$ è nullo, ma allora lo è anche l'altro per il punto di partenza.

[axpgn]

"megas_archon":... No?

Giusto.

Proseguendo ...

Se ci fossero due punti del lattice $(x,y)$ e $(u,v)$ (preferisco evitare apici e pedici) che stanno sulla circonferenza di centro $sqrt(2),sqrt(3)$ allora avremmo $(x-sqrt(2))^2+(y-sqrt(3))^2=(u-sqrt(2))^2+(v-sqrt(3))^2$ e quindi $csqrt(2)+dsqrt(3)=u^2+v^2-x^2-y^2=n$, dove $c=2(u-x), d=2(v-y), n$ interi, da cui segue $2c^2+3d^2+2cdsqrt(6)=n^2$

Siccome $sqrt(6)$ è irrazionale e $c,d,n$ interi, se fosse $cd!=0$ avremmo una contraddizione. quindi deve essere $cd=0$.

Se $c=0$ allora deve essere $d=0$ e $n=0$; similmente $d=0$ dà $c=0$.
Perciò deve essere $c=d=0$ da cui discende che $u=x$ e $v=y$ ovvero i due punti sono identici.