L'assegno

[axpgn]

Il cassiere di una banca nel pagare un assegno, avente un importo di quattro cifre, si sbaglia e corrisponde al cliente una somma con le stesse cifre ma invertite (p.es, dà $4321$ invece di $1234$).
L'ammanco che si ritrova è un quadrato perfetto.

Quanti e quali di tali quadrati sono possibili?
Quanti differenti importi potevano essere scritti sull'assegno originale?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Escludendo la possibilità di importi inizianti con uno zero, vi sono $ 6 $ quadrati e $200$ importi possibili. ( salvo sviste)

Ciao

[axpgn]

Wow, fantastico!

Sono molto, molto interessato al "come hai fatto"


Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex
Non capisco l'entusiasmo

Se $a,b,c,d$ sono, nell'ordine, le quattro cifre scritte sull'assegno deve essere
$ 1000d+100c+10b+a-1000a-100b-10c-d=Q^2 $
$ 999(d-a)+90(c-b)=Q^2 => 111x+10y=q^2 $, avendo posto $ d-a=x; c-b=y; Q=3q $.
$ y $ può assumere $ 19 $ valori da $ -9 $ a $ 9 $ inclusi, mentre $ 0<=x<=8 $.
Osservando che $ x $ coincide con l'ultima cifra di $ q^2 $, si possono escludere i valori $ 2, 3, 7, 8 $, perché nessun quadrato termina con queste cifre.
Con $ x=0 $ l'importo risulta palindromo e non ci sarebbe ammanco.
Con $ x=1 $ sono possibili $ y=-3 $ con $ q^2=81 $ e $ y=1 $ con $ q^2=121 $.
Con $ x=4 $ deve essere $ y=4 $ con $ q^2=484 $ ($ 324 $ è troppo lontano da $ 444 $).
Con $ x=5 $ deve essere $ y=7 $ con $ q^2=625 $.
Con $ x=6 $ può essere $ y=-9 $ con $ q^2=576 $ oppure $ y=1 $ con $ q^2=676 $.

Per ciascun valore di $ x $ vi sono $ 9-x $ coppie $ (d,a) $ che lo producono, mentre per ogni valore $ y $ esistono $ 10-|y| $ coppie $ (c,b) $.
Per un totale di $ 8 cdot 7+8 cdot 9+5cdot6+4 cdot 3+3cdot1+3 cdot 9=200 $ importi possibili.

Ciao

[veciorik]

6 quadrati e 200 numeri:

$ \ abcd-dcba \ = \ 9(111(a-d)+10(b-c)) \ = \ 9q ,\qquad a-d=x ,\qquad b-c=y$

La cifra delle unità di un quadrato, ossia di $x$, può valere solo $1,4,5,6,9$; scarto $9$ perché $d\ne0$; scarto $a=d$ perché $b-c\lt10$.

x	y	q	a	b	c	d	n
-3	81	2...9	0...6	b+3	a-1	8*7=56	1
121	2...9	1...9	b-1	a-1	8*9=72	4	4
5...9	4...9	b-4	a-4	5*6=30	5	7	625
7...9	b-7	a-5	4*3=12	6	-9	576	7...9
0	a-6	3*1=3	6	1	676	7...9	1...9

[axpgn]

Bravissimi!