La funzione enumerativa dei primi non è una funzione razionale

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Sia \( \pi(x) \) la funzione enumerativa dei primi. Dimostra che non esistono due polinomi \(P,Q \) tale che
\[ \pi(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \]
per \(x=1,2,3,4,\ldots \).

[hydro1]

E’ costante su intervalli di lunghezza arbitrariamente lunga, cosa che una funzione razionale non può fare dal momento che un polinomio di grado $n$ ha al più $n$ zeri.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

E perché dovrebbe essere costante su intervalli di infinità lunghezza? L'idea è più o meno corretta btw, però io ho chiesto che la funzione razionale coincida con \( \pi(x)\) solo sugli interi

[hydro1]

Ho scritto "intervalli" per brevità per intendere insiemi della forma $\{n,n+1,\ldots,n+k\}\subseteq \ZZ$.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

La mia soluzione

Supponiamo per assurdo che esistono due polinomi \(P,Q\) tale che \( \pi(x) = P(x)/Q(x) \) per \(x=1,2,3,\ldots\).
Sia \( k := \operatorname{deg} P(x) - Q(x) \), allora abbiamo per il teorema fondamentale dell'algebra che \(P(x)-Q(x) \) possiede al più \(k \) radici reali. Consideriamo \( (k+1)! +j \) per \( 2 \leq j \leq k+1 \) abbiamo che sono \(k \) numeri composti consecutivi. Sia inoltre \(p\) il numero primo più grande tale che \( p \leq (k+1)! +1 \). Consideriamo allora
\[f_p(x) := P(x) Q\left( p \right) - Q(x) P \left( p \right) \]
abbiamo che \(f_p\) è un polinomio di grado \(k\) e in quanto tale possiede al più \(k\) radici reali. Ma
\[ \pi(x) - \pi(p) = \frac{P(x)}{Q(x)} - \frac{P(p)}{Q(p)} = \frac{P(x)Q(p) - P(p)Q(x)}{Q(x)Q(p)}= \frac{f_p(x)}{Q(x)Q(p)} \]
Sia inoltre \( p \leq n \leq (k+1)! + (k+1) \) un intero allora \( \pi(n) - \pi(p)=0 \), pertanto \( f_p(n) = 0 \) da cui \(f_p\) possiede almeno \(k+1\) radici. Assurdo.

[hydro1]

Una soluzione ancora più semplice

La derivata di una funzione razionale è una funzione razionale, quindi ha segno definitivamente costante. D'altronde chiaramente $\pi$ è non decrescente, quindi la derivata ha segno definitivamente strettamente positivo. Ma allora $\pi$ è definitivamente strettamente crescente, il che è impossibile perchè se $n$ è dispari $\pi(n)=\pi(n+1)$.