Isoperimetrico, equiesteso, congruente
buongiorno
ho trovato su un sito una domanda che ha creato un dibattito tra colleghi. Vorrei un piccolo vostro parere
"un poligono che ha perimetro ed area uguali è congruente" (vero o falso?) la risposta data da questa piattaforma è= falso.
cosa ne pensate?
ho trovato su un sito una domanda che ha creato un dibattito tra colleghi. Vorrei un piccolo vostro parere
"un poligono che ha perimetro ed area uguali è congruente" (vero o falso?) la risposta data da questa piattaforma è= falso.
cosa ne pensate?
Risposte
E' falso in generale.
Banalmente per i triangoli scaleni basta ribaltare il triangolo e il triangolo originale e quello ribaltato non sono congruenti.
Ovviamente anche prendendo dei poligoni con piu' lati che non hanno assi di simmetria, e' sufficiente ribaltarli per dimostrare che l'affermazione e' falsa.
Anche senza ammettere ribaltamenti l'affermazione e' comunque falsa.
Ad esempio considera un poligono regolare con 'molti' lati. Chiamiamolo $A$.
Numeriamo i vertici con $1, 2, 3, ... n$
Prendo un vertice $x$ e prendo il punto $x'$ che e' simmetrico ad $x$ rispetto alla retta che passa per i punti $x-1$ e $x+1$. Sostituisco il vertice $x$ con $x'$, e ricostruisco i due lati che vanno a $x-1$ e $x+1$.
Prendo un punto $y > x+2$ e rifaccio le stesse operazioni.
In questo modo ottengo un poligono $A'$
Poi prendo di nuovo il poligono $A$ e rifaccio ancora le stesse operazioni con i punti $j$ e $k$, con $y-x \ne k-j$ (modulo $n$). Chiamo questo terzo poligono $A''$ .
Chiaramente $A'$ e $A''$ hanno stessa area e stesso perimetro, ma non sono congruenti.
Ma posso chiedere che tipo di dibattito si e' creato ?
E' abbastanza chiaro che l'affermazione e' falsa.
Si possono creare moltissimi esempi come quelli che ho scritto.
Banalmente per i triangoli scaleni basta ribaltare il triangolo e il triangolo originale e quello ribaltato non sono congruenti.
Ovviamente anche prendendo dei poligoni con piu' lati che non hanno assi di simmetria, e' sufficiente ribaltarli per dimostrare che l'affermazione e' falsa.
Anche senza ammettere ribaltamenti l'affermazione e' comunque falsa.
Ad esempio considera un poligono regolare con 'molti' lati. Chiamiamolo $A$.
Numeriamo i vertici con $1, 2, 3, ... n$
Prendo un vertice $x$ e prendo il punto $x'$ che e' simmetrico ad $x$ rispetto alla retta che passa per i punti $x-1$ e $x+1$. Sostituisco il vertice $x$ con $x'$, e ricostruisco i due lati che vanno a $x-1$ e $x+1$.
Prendo un punto $y > x+2$ e rifaccio le stesse operazioni.
In questo modo ottengo un poligono $A'$
Poi prendo di nuovo il poligono $A$ e rifaccio ancora le stesse operazioni con i punti $j$ e $k$, con $y-x \ne k-j$ (modulo $n$). Chiamo questo terzo poligono $A''$ .
Chiaramente $A'$ e $A''$ hanno stessa area e stesso perimetro, ma non sono congruenti.
Ma posso chiedere che tipo di dibattito si e' creato ?
E' abbastanza chiaro che l'affermazione e' falsa.
Si possono creare moltissimi esempi come quelli che ho scritto.
grazieeeee
tutto è partito da una domanda precedente:
due poligoni congruenti sono sia isoperimetrici sia equiestesi.....allora sembrava il contrario della domanda precedentemente scritta.
due poligoni congruenti sono sia isoperimetrici sia equiestesi.....allora sembrava il contrario della domanda precedentemente scritta.
"Quinzio":
Banalmente per i triangoli scaleni basta ribaltare il triangolo e il triangolo originale e quello ribaltato non sono congruenti.
Cosa? Hanno tre lati uguali. Per me sono congruenti.
"ghira":
[quote="Quinzio"]
Banalmente per i triangoli scaleni basta ribaltare il triangolo e il triangolo originale e quello ribaltato non sono congruenti.
Cosa? Hanno tre lati uguali. Per me sono congruenti.[/quote]
Infatti, anch'io stento a capire il senso del ragionamento di Quinzio... Può darsi volesse dire altro.
"pincher70":
due poligoni congruenti sono sia isoperimetrici sia equiestesi
Che questo valga è fuori di dubbio: l'isoperimetria di poligoni congruenti è conseguenza banale della congruenza dei lati corrispondenti; l'equiestensione è conseguenza degli assiomi della relazione di equiestensione.
Il viceversa, invece, credo non sia vero se non i casi particolarissimi (forse nella classe dei triangoli, che hanno una geometria molto rigida... Ma ci devo pensare), soprattutto se non c'è scritto da nessuna parte che i poligoni debbano avere lo stesso numero di lati.
Per capire questa cosa possiamo fare un po' di "taglia e cuci"...
Prendo un triangolo equilatero $ABC$ e congiungo i punti medi $L$, $M$ ed $N$ dei lati $AB$, $BC$ e $CA$ ottenendo $4$ triangoli simili a quello di partenza, aventi area uguale ad $sigma = 1/4 "area"(ABC) = 1/4 Sigma$ e perimetro uguale a $p = 1/2"per"(ABC)=1/2 P$.
Se taglio un triangolino contenente un angolo interno al triangolo $ABC$, diciamo $ALN$, e lo incollo al trapezio $LBCN$ in modo che $LN equiv LB$ ed il vertice $A^\prime$ (corrispondente ad $A$) cada fuori da $LBCN$ ottengo un parallelogramma $A^\prime BCN$ che ha stessa area e stesso perimetro di $ABC$, ma chiaramente non è congruente a $ABC$ (è un parallelogramma, cavolo!
).Vedi figura (lo so che non è il massimo, ma almeno rende l'idea...).
P.S.: A pensarci bene, questo mostra che anche richiedendo che i poligoni abbiano lo stesso numero di lati, la cosa non funziona.
Difatti, prendi un parallelogramma $ABCD$ e traccia l'altezza interna $BH$; "taglia" il triangolo $HBC$ e "cucilo" al contrario, ossia in modo che $H equiv B$ e $B equiv H$ ed il punto $C'$ corrispondente a $C$ sia esterno ad $ABCD$; in tal modo ottieni un trapezio $AC'HD$ che è isoperimetrico ed equiesteso al parallelogramma $ABCD$... Ma col cavolo che $AC'HD$ e $ABCD$ sono congruenti!
P.P.S: La cosa funziona per ogni poligono con più di tre lati e credo di aver capito cosa intendesse Quinzio.
Ad esempio, prendiamo un pentagono non regolare $ABCDE$ e diciamo, per fissare le idee, che $AB!= BC$.
Tracciata la diagonale $AC$, simmetrizziamo il triangolo $ABC$ rispetto all'asse del lato $AC$, in modo da ottenere un triangolo $A'B'C'$ che ha $A' equiv C$, $C' equiv A$ e $B'$ esterno al pentagono $ABCDE$.
Chiaramente $ABCDE$ ed $AB'CDE$ sono pentagoni euiestesi ed isoperimetrici, ma col cavolo che sono congruenti, perché i lati corrispondenti $AB' cong C'B' cong BC != AB$.
L'unico caso (a quanto vedo, ma posso sbagliare) in cui questa costruzione non funziona è quando il quadrilatero $ACDE$ è esso stesso simmetrico rispetto all'asse del lato $AC$.
Mi rimane aperta la faccenda dei triangoli, però.
Avete assolutamente ragione. L'esempio dei triangoli scaleni non va bene. Credevo che le riflessioni non facessero parte delle isometrie.
"Quinzio":
Avete assolutamente ragione. L'esempio dei triangoli scaleni non va bene. Credevo che le riflessioni non facessero parte delle isometrie.
Sono invertenti, ma sempre isometrie.
siete stati super gentili ed avete reso l'idea. Grazie ancora a tutti voi e vi auguro buona giornata
Mi sembra che ci siano infiniti triangoli con la stessa area e lo stesso perimetro. La butto lì senza averci ripensato troppo, ma mi pare che se chiamo \(\displaystyle x \) \(\displaystyle y \) e \(\displaystyle z \) le misure dei lati allora le condizioni sull'area e quella sul perimetro sono due mentre ho tre variabili disponibili. In effetti usando la formula di Erone le condizioni sono:
\(\displaystyle A^2=p(p-x)(p-y)(p-z) \) e \(\displaystyle 2p=x+y+z \)
dove \(\displaystyle A \) è l'area e \(\displaystyle p \) è il semiperimetro. Se si cerca di applicare il teorema del Dini mi pare si veda
che le ipotesi sono verificate intorno a una qualunque terna \(\displaystyle x_0,y_0,z_0 \) purché le tre componenti non siano tutte eguali. Dunque (se non sto prendendo abbagli) preso qualunque triandolo che non sia equliatero, lo posso perturbare facendo rimanere eguali area e perimetro.
Non è una dimostrazione geometrica, mi dispiace...
\(\displaystyle A^2=p(p-x)(p-y)(p-z) \) e \(\displaystyle 2p=x+y+z \)
dove \(\displaystyle A \) è l'area e \(\displaystyle p \) è il semiperimetro. Se si cerca di applicare il teorema del Dini mi pare si veda
che le ipotesi sono verificate intorno a una qualunque terna \(\displaystyle x_0,y_0,z_0 \) purché le tre componenti non siano tutte eguali. Dunque (se non sto prendendo abbagli) preso qualunque triandolo che non sia equliatero, lo posso perturbare facendo rimanere eguali area e perimetro.
Non è una dimostrazione geometrica, mi dispiace...
"ViciousGoblin":
Mi sembra che ci siano infiniti triangoli con la stessa area e lo stesso perimetro. La butto lì senza averci ripensato troppo, ma mi pare che se chiamo \(\displaystyle x \) \(\displaystyle y \) e \(\displaystyle z \) le misure dei lati allora le condizioni sull'area e quella sul perimetro sono due mentre ho tre variabili disponibili. In effetti usando la formula di Erone le condizioni sono:
\(\displaystyle A^2=p(p-x)(p-y)(p-z) \) e \(\displaystyle 2p=x+y+z \)
dove \(\displaystyle A \) è l'area e \(\displaystyle p \) è il semiperimetro. Se si cerca di applicare il teorema del Dini mi pare si veda
che le ipotesi sono verificate intorno a una qualunque terna \(\displaystyle x_0,y_0,z_0 \) purché le tre componenti non siano tutte eguali. Dunque (se non sto prendendo abbagli) preso qualunque triandolo che non sia equliatero, lo posso perturbare facendo rimanere eguali area e perimetro.
Non è una dimostrazione geometrica, mi dispiace...
Oggi pomeriggio ho fatto gli stessi conti e sono giunto alle stesse conclusioni, ma guardandolo come problema algebrico perché mi scocciavo di derivare...
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