Ipotenuse quadrate

[axpgn]

Tutti conoscono il trittico di formule per "costruire" le terne pitagoriche; bene, adesso trovatene un altro per formare terne pitagoriche nelle quali l'ipotenusa sia un quadrato perfetto.

Cordialmente, Alex

[anto_zoolander]

Ciao Alex,

Intendi tipo che avendo $a^2+b^2=c^2$ debba essere $c=n^2$?

Ovviamente per opportuni $a,b,c inNN$

[dan952]

Siano $a,b,c \in \mathbb{Z}$ coprimi tali che $a^2+b^2=c^4$, allora dati $m,n \in \mathbb{Z}$ coprimi
\begin{equation}
a=m^4+n^4-6m^2n^2 \\
b=4mn(m^2-n^2) \\
c=(m^2+n^2)^2
\end{equation}

[Erasmus_First]

"axpgn":Tutti conoscono il trittico di formule per "costruire" le terne pitagoriche; bene, adesso trovatene un altro per formare terne pitagoriche nelle quali l'ipotenusa sia un quadrato perfetto.

Mi pare che ... non hai esposto il quesito come lo sai pensando!
Cosa intendi per « "trittico" per costruire le terne pitagoriche »?
Forse volevi dire algoritmo
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• Ti basta la sguente banalissima soluzione:
"Se $[a, b, c]$ è una qualsiasi terna pitagorica allora anche la terna $[x, y, z]= c[a, b, c] = [ca, cb, c^2]$ è pitagorica"
• Oppure pensi implicito che le richieste terne pitagoriche con l'ipotenusa quadrato di in intero debbano essere primitive?
Es. [7, 24, 25]; [119, 120, 169], [161, 240, 289] ...
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P.S. [Editando]
Ho letto solo dopo aver inviato la mia risposta (iniziata ancora ieri sera) la risposta di dan95 che dà per ipotenusa addirittura il quadratro di un quadrato di un intero!

Ma ... ci sono infinite soluzioni con ipotenusa quadrtato di un intero il quale NON è quadrato di un intero.
Si vedano, appunto, i miei tre esempi (dove, detta $[x, y, z]$ una terna di interi positivi con $x Sono di cardinalità infinita le terne di ciascuno dei tre tipi esemplificati ... senza contare quelle in cui l'ipotenusa è una potenza d'un intero di grado pari maggiore di 2.

[axpgn]

@Erasmus
Chiamalo come vuoi ma questo $x=m^2-n^2, y=2mn, z=m^2+n^2$ è un "trittico" di formule ...

Dal mio "Zingarelli '94":

trittico: ... 3 (est., gener.) Complesso costituito da tre elementi uguali ...



Comunque quello che voglio è una formula più generale, più "esplicita", che non parta o presuponga necessariamente altre terne o formule come quelle tua e di dan ... per esempio la terna $(28, 96, 100)$ è pitagorica ed ha l'ipotenusa "quadrata" ma non è ricavabile col metodo di Erasmus ...

Cordialmente, Alex

[ot]Erasmus metti sotto spoiler anche soluzioni banali ... sarò pedante ma mi illudo che ci siano altri lettori (silenti ma interessati) [/ot]

[Erasmus_First]

"axpgn":[...] quello che voglio è una formula più generale, più "esplicita", che non parta o presuponga necessariamente altre terne o formule come quelle tua e di dan ...

Non sono sicuro di aver capito cosa intendi ...
Ma non ha molta importanza.

"axpgn":[...] per esempio la terna $(28, 96, 100)$ è pitagorica ed ha l'ipotenusa "quadrata" ma non è ricavabile col metodo di Erasmus ...

Questa non è primitiva ed è il quadruplo della terna [7, 24, 25] che è il primo dei tre esempi di soluzione primitiva, (ciascun esempio di tipo distinto dal tipo degli altri due).
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P.S.
Nel tuo "trittico",$m$ ed $n$ non sono interi positivi distinti coprimi ... e basta (se si vuol evitare di produrre terne non primitive). Se $m$ ed $n$ sono entrambi dispari ... o la terna non è primitiva o ti conviene dividere ogni membro per due!

A me, ... nei tempi antichi [non proprio del medieoevo ma quasi! ] hanno insegnato come "algoritmo di Euclide" il seguente (ma non ho mai controllato se si tratta davvero di un algoriotmo di Euclide).
[NB: in ogni terna pitagorica primitiva un cateto è dispari, l'altro cateto è divisibile per 4 e l'ipotenusa è sempre 1 mod 4].
•Prendere due interi positivi dispari coprimi, diciamoli m ed n e calcolare:
$x = mn$; $y=|m^2 - n^2|/2$; $z=(m^2 + n^2)/2$.
Allora $[x, y, z] $è una terna pitagorica primitiva, x è il cateto dispari e z è l'ipotenusa.

[axpgn]

@Erasmus
Hai una capacità di divagare che è pazzesca ... ... di tutti i tuoi discorsi non è che abbia capito molto ma di sicuro io non ho mai parlato di "primitive" quindi lascia stare questa "condizione" che non ho richiesto; secondariamente ti ho mostrato che esistono terne con le caratteristiche che ho richiesto che non "c'azzeccano" con la tua soluzione "banale" $ [x, y, z]= c[a, b, c] = [ca, cb, c^2] $ quindi esiste una "soluzione" più "generale" di questa, non sei d'accordo?

Infine provo a riformulare (è decisamente impegnativo riprendere quesiti da vecchi testi e riscriverli per le "moderne esigenze": un tempo non si facevano tanti problemi ... ):

Dati due naturali $a$ e $b$ qualsiasi, trovare una terna di espressioni (che dipenda da $a$ e $b$) per determinare una terna di interi $x, y, z$ (uno per espressione) tali che sia $x^2+y^2=z^2$ e $z=n^2$ con $n in NN$.

Così dovrebbe andare, spero ...

Cordialmente, Alex

[dan952]

Il trittico mio perché non va?

[axpgn]

Perché seguendo Erasmus me lo sono perso ...

Va bene, va benissimo ... ... l'unica cosa che toglierei è la condizione iniziale che non serve (almeno per la formulazione generale che ho fatto nell'ultimo post).

Per curiosità, posso sapere come ci sei arrivato?

Cordialmente, Alex

[dan952]

O usi il trittico pitagorico noto oppure gli interi di Gauss...

[Erasmus_First]

"axpgn":@Erasmus
[...] non ho mai parlato di "primitive" quindi lascia stare questa "condizione" che non ho richiesto [...]

E' vero. Proprio per questo, inizialmente, ho messo in dubbio la fedeltà del testo al tuo stesso pensiero!
Però ... la mia BANALISSIMA soluzione non ti va!
Perché?
[A me non va proprio perché è una ovvia banalità. Non aggiunge conoscenza!
E tuttaviua on credo che le terne che essa produce rienrtrino nella soluzione generale che tu [probabilmente] sai ... (e io non solo non so ma nemmeno ho iniziato a cercare); e ovviamente sarei ben contento di sbagliarmi a questo proposito].

"axpgn":[...] ti ho mostrato che esistono terne con le caratteristiche che ho richiesto che non "c'azzeccano" con la tua soluzione "banale"

Che ci fossero soluzioni di ben altro tipo di quello "banale" che t'ho mostrato era implicito già in quel mio primo messagio. [E quindi la tua precisazione è superflua!]. Insomma: un conto è un algoritmo che genera una infinità di soluzioni senza tuttavia coprire la totalità delle soluzioni (per esempio quello attribuito da pappo a Pitagora per generare infinite terne pitagoriche primitive (*) ) ed un altro è un algoritmo che genera tutte le soluzioni a meno di un fattore comune (intero maggiore di 1). Ragionamenti di questo tipo si fanno semprte in matematica! Per esempio, l'equazione cartesiana esplicita di una retta nel piano, $y = mx + q$ è ben più usata di quella generale $ax + by + c = 0$ nella quale i tre parametri(per una data retta) sono noti a meno di un fattore comune arbitrario diverso da zero.
[size=110](*) Le terne pitagoriche prodotte con l'algoritmo che Pappo attribuisce a Pitagora hanno tutte differenza 1 tra ipotenusa e cateto maggiore. L'algoritmo è il seguente.
• Metti un cateto uguale sd un dispari maggiore di 1. [Modernamente diciamo $x = 2n+1$.]
• Fa' il quadrato di quel dispari, detrai 1 e fa' la metà. Metti il secondo cateto uguale a questo risultato. [Cioè: y = 2n^2 + 2n],
• Aggiungi 1 al numero del secondo cateto e netti l'ipotenusa uguale a questo numero. [Cioè: z = y+1].
Platone conosceva questo algoritmo (in cui il cateto minore è sempre dispari. Proprio per mostrare che ci sono infinite terne pitagoriche non ottenibili con quell'algoritmo, Platone ne ha inventato uno che produce terne pitagoriche empre con differenza 2 tra ipotenusa ed il cateto dispari (che viene il maggiore tranne il caso [3, 4, 5]. Eccolo qua:
• Metti un cateto uguale a 4 volte un qualunque numero intero [positivo]. [Modernamente: $x = 4n$, con $n$ intero positivo].
• Fa' il quadrato di quel numero, moltiplica per 4 e detrai 1; e metti il secondo cateto uguale al risultato. [Cioè $y = 4n^2 -1$].
• Metti l'ipotenusa uguale al secondo cateto aumentato di 2. [Cioè: $z = y+2 = 4n^2 + 1$.][/size]
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Mi pare uno spreco inutile il non imporre la condizione che le cercate terne pitagoriche siano primitive (cioè con Massimo Comune Divisore delle componenti che vale 1). Per questo ti ho mostreato la banalissima soluzione!
Insomma: Perché, oltre a ]7, 24, 25] – tanto per fare un esempio – vuoi che mi interessino le infinite soluzioni del tipo:
$m^2[7, 24, 25]$ [con m intero maggiore di 1)?
[28, 96, 100]; [63, 216, 225]; [112, 384, 400]; [175, 600, 625], ...
A me paiono una "ovvietà" del tutto INUTILE (=di nessuna utilità].
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Non ho risposto al tuo quiz, è vero.
Ma non mi pare affatto di aver divagato! Anzi: mi pare di avere "discusso" l'argomento – critiche comprese! – PERTINENTEMENTE!.

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[axpgn]

"Erasmus_First":Non ho risposto al tuo quiz, è vero. Ma non mi pare affatto di aver divagato!

... non ti pare un ossimoro, questo?

Se uno posta un quesito, ragionevolmente si aspetta che l'obiettivo principale delle risposte sia relativo alla soluzione, non ti pare? Mentre tu affermi di non aver "... nemmeno ... iniziato a cercare" ... (per inciso, la soluzione è quella data da dan95 nel suo primo post)

Quindi cosa posso dirti io se non ti interessa quello che scrivo ma preferisci parlare di ciò che ti piace? (... e peraltro, detto fra noi, fai bene a scrivere e parlare di quello che ti interessa di più ... )

La tua soluzione "banale" non mi va? No, semplicemente non è quello che cercavo (peraltro l'aggettivo "banale" ce l'hai messo tu, io mi limito a ripetere ...)
Il problema era troppo semplice o manca di "condizioni importanti" ? Me ne farò una ragione e cercherò di migliorare ...

Ad maiora!

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

Insisto!
Non ho divagato! Ho invece discusso PERTINENTEMENTE restando in argomento. In particolare, pur non dando la formula (o le fotrmule) per calcolare una qualunque tra TUTTE le soluzioni:
a) Ho mostrato un tipo di soluzione ... che fa un po' schifo (e che ho appellato "banale") ma serve appunto di stimolo a precisare che tipo di soluzione ti aspetti.
b) Ho offerto altri spunti di stimolo in questo senso – diciamo pure di "critica" ma non nel senso negativo – che tu non hai raccolto!
c) Ho portato tre esempi di soluzione di tre tipi distinti ...
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Non creedo che esista un algoritmo che, da due o tre numeri di tipo opportuno, generi qualsiasi soluzione (copra cioè tutte le possibili soluzioni).
Scusami per quel che sto per scrivere ... che a prima vista può si apparire una divagazione; mi invece serve per cercare di esprimere con maggiore sicurezza quel che vorrei comunicare.
Tu hai iniziato usando la parola "trittico". [Non sono d'accordo sull'uso che hai fatto di questa parola ... ma non ha importanza].
Adesso la userò io!
Consideriamo il "trittico" seguente:
• un numero intero dispari $m$ arbitrario;
• un altro intero dispari $n$ pure arbitrario purché diverso da $m$ e senza fattor primi in comune con $m$;
• un terzo intero positivo k arbitrario.
Con la regola [precisa] seguente
$x = kmn$; $y = k|n^2 - m^2|/2$; $z=k(n^2 + m^2)/2$,
si ottiene una qualsiasi di TUTTE le possibili terne pitagoriche.
Ecco: NON CREDO – ma sarei ben contento di sbaglìiarmi – che esista qualcosa del genere per avere una qualsiasi di TUTTE le terne pitagoriche con ipotenusa quadrata.

Però posso dare un algoritmo che – pur essendo piuttosto noioso – produce terne pitagoriche primitive con ipotenusa quadrato d'un intero in ordine crescente senza saltarne nemmeno una!
[Da ciascuna [x, y, z] di queste se ne possono ricavare infinite non primitive del tipo $m^2[x, y, z]$ con $m$ intero positivo arbitrario.

Parto da 1 e continuo a ripetere quanto segue:
• Aggiungo 2 e faccio il quadrato (ottenendo la prima volta 9 e poi un intero del tipo $q = (2n+1)^2 =4(n^2+n)+1$).
• Cerco se, per caso, questo $q$ è somma di due quadrati (sottraendogli progressivamente i quadrati in ordine crescente fino al quadrato più vicino a $2n^2+1$). Se trovo che $q$ è somma di due quadrati (necessariamente uno pari e uno dispari dato che $q$ è dispari – diciamo $q= p^2 + d^2$ – allora mi va bene
$z=q$ come ipotenusa; $x= |p^2 -d^2|$ come cateto dispari; $y=2pd$ come cateto pari.
•• Naturalmente van bene anche tutte le terne $m^2[x, y, z]$ (con m intero positivo arbitrario).
[Se la terna appena trovata non è primitiva, allora è un multiplo (secondo un fattore quadrato di un intero) di una terna trovata precedentemente (e quindi già considerata ... per cui la scarto!)].
••• Se né $p^2$ né $d^2$ è il quadrato più prossimo a 2n^2+1, proseguo la ricerca sullo stesso $q$; e se trovo un'altra coppia di quadrati con somma $q$ faccio come ho fatto con la coppia precedente.
• Esaurita la ricerca su questo $q$, passo al quadrato del dispari successivo sul quale ripeto lo stesso tipo di ricerca.
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Supponiamo, per esempio, di essere arrivati al dispari 5, e quindi a $q=25$. Siccome $25=3^2 + 4^3$, mi va bene
$z = 25$ come ipotenusa; $x = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$ come cateto dispari e $y = 2·3·4 = 24$ come cateto pari; e poi tutte le terne $m^2[x, y, z]$.
Arrivati al dispari 13 abbiamo 169 = 144 + 25 e quindi [x, y, z] = [119, 120, 169].
Arrivati al dispari 15, cioè a q = 225 = 81 + 144, si ha la soluzione [63, 216, 225], però già tra quelle considerate come multipli di [7, 24, 25] dato che [63, 144, 225] = 9·[7, 24, 25].
Mi va bene anche $17^2 = 289 = 64+225]$ che mi dà $[x, y, z] = [161, 240, 289]$.
Arrivati poi al dispari 25, ossia a $q = 625$, dapprima trovo $625 – 7^2 = 576 = 24^2$., perciò mi va bene:
$z=625$; $x = 576-49 = 527$; $y=2·7·24=336$.
Sempre con $q=625$ trovo anche $625 - 15^2 = 400 = 20^2$.
Certamente anche $z=625$; $x = 20^2 - 15^2 = 175$; $y = 2·20·15 = 600$, cioè [175, 600, 625] è una soluzione. Ma questa terna la scarto perché è già stata considerata nei multipli del tipo $m^2[7, 24, 25]$ dato che:
[175, 600, 625] = 25·[7, 24, 25].

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[axpgn]

Si vede che abbiamo visioni diverse sul significato di "divagare" ...
Se ti chiedo la soluzione di un'equazione di secondo grado e invece di darmela tu inizi a parlare di formule risolutive, di discriminante, di somme e prodotti di radici, ecc. questo per me è divagare ...

Comunque questa formula esiste ed è quella indicata da dan95 nel suo primo post (togli pure le condizioni che ha messo ...)

Cordialmente, Alex

[ot]Ho visto che esistono libri a sfondo matematico che hanno come autore "Rudi Mathematici"; ne sai qualcosa?[/ot]

[Erasmus_First]

"axpgn":[...] questa formula esiste ed è quella indicata da dan95 nel suo primo post [...]

Bene! Come ho anticipato, sono contento di aver sbagliato nel credere che una tale formula esista.

"axpgn":(togli pure le condizioni che ha messo ...)

In effetti, non è necessario che i due interi [positivi] m ed n siano coprimi. E' necessario che non siano uguali (se no il catreto b viene nullo).
Aggiungere il modulo ai cateti (se no $b$ viene negativo per $m < n$ ed $a$ viene negativo se $m$ e $n$ non sono abbastanza lontani uno dall'altro).
_____
In ogni caso l'ipotenusa $c$ è la somma di due quadrati e allora un cateto vale lo scarto tra questi due quadrati.
Sono dunque soddisfatto d'aver trovato, se non la formula, un giusto algoritmo risolutore.
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[axpgn]

"Erasmus_First":... E' necessario che non siano uguali (se no il catreto b viene nullo).
Aggiungere il modulo ai cateti (se no $b$ viene negativo per $m < n$ ed $a$ viene negativo se $m$ e $n$ non sono abbastanza lontani uno dall'altro). ...

Esatto.
Non ho aggiunto queste condizioni alla soluzione di dan95 perché, da un lato, anche se formalmente indispensabili, non alterano la sostanza della soluzione e dall'altro perché non sono necessarie nella rifomulazione più generale che avevo fatto ...

"axpgn":... Infine provo a riformulare ...

Dati due naturali $ a $ e $ b $ qualsiasi, trovare una terna di espressioni (che dipenda da $ a $ e $ b $) per determinare una terna di interi $ x, y, z $ (uno per espressione) tali che sia $ x^2+y^2=z^2 $ e $ z=n^2 $ con $ n in NN $.

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Così non vale! Se Alex ed Erasmus si accordano, e son di mazzo, bisogna sparigliare.
Una terna cattivissima (ve n'è una infinità numerabile): 468, 4199, 4225.
Mi pare refrattaria a tutti i metodi proposti.
Ciao
PS @dan95:
[ot]Puoi riportarmi la firma che usavi precedentemente, indicando anche l'autore per esteso.[/ot]

[dan952]

@Orsoulx
[ot]Se intendi quella del genio è mia e D.B. sono le iniziali del mio nome e cognome appunto[/ot]

[orsoulx]

@dan95:
[ot]Si è quella. Me la riscrivi, per favore: mi piace molto, ma non la trovo più, perché è stata sostituita da quella nuova.
Grazie.[/ot]
Ciao

[dan952]

[ot]"Un genio è un uomo con una mente da donna."

Mi fa piacere che ti piaccia [/ot]

[axpgn]

"orsoulx":Una terna cattivissima (ve n'è una infinità numerabile): 468, 4199, 4225.
Mi pare refrattaria a tutti i metodi proposti.

Ma va, è facilissima: $m=-2,87743936694316,\ \ n=7,53129090459038$

[ot]È un vero piacere risentirti, anche se sei cattivissimo ... [/ot]

Cordialmente, Alex