Ipotenuse quadrate
Tutti conoscono il trittico di formule per "costruire" le terne pitagoriche; bene, adesso trovatene un altro per formare terne pitagoriche nelle quali l'ipotenusa sia un quadrato perfetto.
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Risposte
@Alex:
cattivissima è la terna; come ben sai, io ho sempre mal di testa, causato dal numero di aureole che devo reggere.
Seriamente: qual è la proprietà comune alle terne che non si trovano con i metodi proposti?
Oppure, in alternativa: come ho trovato la terna incriminata?
Ciao
cattivissima è la terna; come ben sai, io ho sempre mal di testa, causato dal numero di aureole che devo reggere.
Seriamente: qual è la proprietà comune alle terne che non si trovano con i metodi proposti?
Oppure, in alternativa: come ho trovato la terna incriminata?
Ciao
"orsoulx":
Oppure, in alternativa: come ho trovato la terna incriminata?
È la prima cosa che mi è venuta in mente ma a quest'ora non saprei (non che in altri momenti sia sempre meglio ...
) ... ho notato che hai moltiplicato una terna (valida) per un certo $k$ in modo da trovare un'ipotenusa quadrata ma poi ...
Cordialmente, Alex
Edit: ho aggiunto una condizione
Oops!
Vedo adesso in un mio precedente "post" degli errori rispetto a quello che allora volevo dire; ossia: ci sono o errori o carenze di battitura.
Vorrei correggere (senza alterare quello che allora volevo dire, anzi correggendo dove avevo sbagliato a scrivere), ma adesso vedo che posso "citare" ma non più "modificare".
Portate pazienza! [ Ho già detto altrove che ormai ... mi sento da "rottamare"! ]
Metto qui di seguito la citazione di quel mio "post" però CORREGGENDO (n grassetto) dove avevo sbagliato a scrivere rispetto a quello che allora volevo dire.
Aggiungerei il modulo ai cateti (se no $b$ viene negativo per $m < n$ ed $a$ viene negativo se $m$ e $n$ non sono abbastanza lontani uno dall'altro).
_____
In ogni caso l'ipotenusa $c$ è la somma di due quadrati e allora un cateto vale lo scarto tra questi due quadrati.
Sono dunque soddisfatto d'aver trovato, se non la formula, un giusto algoritmo risolutore.[/quote]
Vi prego di accettare le mie scuse oer il casino che, purtroppo, ogni tanto faccio (mio malgrado, nonostante lo sforzo di non farlo!)
______
Vedo adesso in un mio precedente "post" degli errori rispetto a quello che allora volevo dire; ossia: ci sono o errori o carenze di battitura.
Vorrei correggere (senza alterare quello che allora volevo dire, anzi correggendo dove avevo sbagliato a scrivere), ma adesso vedo che posso "citare" ma non più "modificare".
Portate pazienza! [ Ho già detto altrove che ormai ... mi sento da "rottamare"! ]
Metto qui di seguito la citazione di quel mio "post" però CORREGGENDO (n grassetto) dove avevo sbagliato a scrivere rispetto a quello che allora volevo dire.
"Erasmus_First":Bene! Come ho anticipato, sono contento di aver sbagliato nel credere che una tale formula non esista.
[quote="axpgn"][...] questa formula esiste ed è quella indicata da dan95 nel suo primo post [...]
"axpgn":In effetti, non è necessario che i due interi [positivi] m ed n siano coprimi. E' necessario che non siano uguali (se no il cateto b viene nullo).
(togli pure le condizioni che ha messo ...)
Aggiungerei il modulo ai cateti (se no $b$ viene negativo per $m < n$ ed $a$ viene negativo se $m$ e $n$ non sono abbastanza lontani uno dall'altro).
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In ogni caso l'ipotenusa $c$ è la somma di due quadrati e allora un cateto vale lo scarto tra questi due quadrati.
Sono dunque soddisfatto d'aver trovato, se non la formula, un giusto algoritmo risolutore.[/quote]
Vi prego di accettare le mie scuse oer il casino che, purtroppo, ogni tanto faccio (mio malgrado, nonostante lo sforzo di non farlo!)
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Oops!
Vedo adesso in un mio precedente "post" degli errori rispetto a quello che allora volevo dire; ossia: ci sono o errori o carenze di battitura.
Vorrei correggere (senza alterare quello che allora volevo dire, anzi correggendo dove avevo sbagliato a scrivere), ma adesso vedo che posso "citare" ma non più "modificare".
Portate pazienza! [ Ho già detto altrove che ormai ... mi sento da "rottamare"! ]
Metto qui di seguito la citazione di quel mio "post" però CORREGGENDO (n grassetto) dove avevo sbagliato a scrivere rispetto a quello che allora volevo dire.
Aggiungerei il modulo ai cateti (se no $b$ viene negativo per $m < n$ ed $a$ viene negativo se $m$ e $n$ non sono abbastanza lontani uno dall'altro).
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In ogni caso l'ipotenusa $c$ è la somma di due quadrati e allora un cateto vale lo scarto tra questi due quadrati.
Sono dunque soddisfatto d'aver trovato, se non la formula, un giusto algoritmo risolutore.[/quote]
Vi prego di accettare le mie scuse oer il casino che, purtroppo, ogni tanto faccio (mio malgrado, nonostante lo sforzo di non farlo!)
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Vedo adesso in un mio precedente "post" degli errori rispetto a quello che allora volevo dire; ossia: ci sono o errori o carenze di battitura.
Vorrei correggere (senza alterare quello che allora volevo dire, anzi correggendo dove avevo sbagliato a scrivere), ma adesso vedo che posso "citare" ma non più "modificare".
Portate pazienza! [ Ho già detto altrove che ormai ... mi sento da "rottamare"! ]
Metto qui di seguito la citazione di quel mio "post" però CORREGGENDO (n grassetto) dove avevo sbagliato a scrivere rispetto a quello che allora volevo dire.
"Erasmus_First":Bene! Come ho anticipato, sono contento di aver sbagliato nel credere che una tale formula non esista.
[quote="axpgn"][...] questa formula esiste ed è quella indicata da dan95 nel suo primo post [...]
"axpgn":In effetti, non è necessario che i due interi [positivi] m ed n siano coprimi. E' necessario che non siano uguali (se no il cateto b viene nullo).
(togli pure le condizioni che ha messo ...)
Aggiungerei il modulo ai cateti (se no $b$ viene negativo per $m < n$ ed $a$ viene negativo se $m$ e $n$ non sono abbastanza lontani uno dall'altro).
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In ogni caso l'ipotenusa $c$ è la somma di due quadrati e allora un cateto vale lo scarto tra questi due quadrati.
Sono dunque soddisfatto d'aver trovato, se non la formula, un giusto algoritmo risolutore.[/quote]
Vi prego di accettare le mie scuse oer il casino che, purtroppo, ogni tanto faccio (mio malgrado, nonostante lo sforzo di non farlo!)
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Simpatica la terna di Orsoulx!
Ma allora ... non era vero che la "formula" di dan95 copriva TUTTE le possibili soluzioni.
E non era vero nemmeno quel che ho detto introducendo il "mio" algoritmo, che cioè l'algoritmo produceva tutte le terne pitagoriche con l'ipotenusa "quadrata" senza saltarne neanche una!
Però: la terna di Orsoulx non è primitiva. Ecco il trucco ... diabolico!
Si cerca (fin che si trova) una terna pitagorica (suppongo pure primitiva) in cui l'ipotenusa sia un qadrato d'un intero dispari per un numero primo (maggiore di 2).
Poi la si moltiplica per quel numero primo.
Suppongo che Orsoulx sia partito da [x?, y?, $5^2·13$] trovando prima [x, y, z] =[36, 323, 325] {che è una terna pitagorica "platonica", cioè di quelle con scarto 2 tra cateto maggiore (dispari) ed ipotenusa}. Poi l'ha moltiplicata per 13
Eccone un'altra, sempre con ipotenusa 4225 = $65^2$, che mi pare ... parente di quella di Orsolulx!
$[x, y, z] = [615, 4180, 4225]$.
La sua (di Orsoulx) è del tipo $13·[ ..., ..., 5^2·13]$. La mia è del tipo $5·[..., ..., 5·13^2]$.
Secondo la "regola" del primo post di dan95 la terna con ipotenusa $65^2$ viene da
$m=8$ ∧ $n=1$ ⇒ $[a, b, c] = [3713, 2016, 4225]$ (primitiva)
Infatti allora
$c=(m^2 + n^2)^2 = (8^2+1^2)^2 = 4225$; $b= 4mn(m^2 - n^2) = 4·8·1·(8^2 – 1^2) = 2016$;
$a=(m^2 + n^2)^2 - 8m^2m^2 = 65^2 - 8·64·1 = 3713$.
La stessa terna viene con l'algoritmo di Erasmus partendo da $2n+1 = 65$ e quindi $q=65^2 = 4225$.
Infatti, cercando un pari $p$ e un dispari $d$ tali che $p^2 + d^2 = 4225$ si trova presto $p=16$ dato che $4225-16^2 = 63^2$, ossia $d=63$.
E con ciò:
$x= !d^2 - p^2|=63^2 - 16^2 = (63+16)(63-16) = 79·47 = 3713$;
$y=2·p·d=2·16·63 = 32·63=2016$.
-----------
Altre terne pitagoriche con ipotenusa 4225 sono.
$[2047, 3696, 4225]$ (primitiva)
$5·[116, 837, 845]= [580,4185,4225]$ (altra parente di quella di Orsoulx, sorella della precedente terna di Erasmus);
$13·[204, 253, 325]=[2652, 3289, 4226]$ (sorella della terna di Orsoulx];
$5·13^2[3, 4, 5] = [2535, 3380, 4225]$;
$5^2·13[5, 12, 13] = [1625, 3900, 4225]$;
$5^2·[119, 120, 169] = [2975, 3000, 4225]$.
$13^2[7, 24, 25] = [1183, 4056, 4225]$;
Ma ... quante sono le terne pitagoriche con ipotenusa 4225?
Se non ne ho tralasciata qualcuna sono queste 10:
• Due primitive: [3713, 2016, 4225] e [2047, 3696, 4225];
• Due con fattore comune 13 ⇒ [488, 4199, 4225] (Orsoulx) e [2652, 3289, 4225];
• Due con fattore comune 5 ⇒ [615, 4180, 4225] e [580, 4185, 4225];
• Una con fattore comune $5^2$ = 25 ⇒ [2975, 3000, 4225];
• Una con fattore comune $13^2$ =169 ⇒ [1183, 4056, 4225];
• Una con fattore comune $5^2·13$ =325 ⇒ [1625, 3900, 4225];
• Una con fattore comune $5·13^2$ = 845 ⇒ [2535, 3380, 4225].
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Ma allora ... non era vero che la "formula" di dan95 copriva TUTTE le possibili soluzioni.
E non era vero nemmeno quel che ho detto introducendo il "mio" algoritmo, che cioè l'algoritmo produceva tutte le terne pitagoriche con l'ipotenusa "quadrata" senza saltarne neanche una!
Però: la terna di Orsoulx non è primitiva. Ecco il trucco ... diabolico!
Si cerca (fin che si trova) una terna pitagorica (suppongo pure primitiva) in cui l'ipotenusa sia un qadrato d'un intero dispari per un numero primo (maggiore di 2).
Poi la si moltiplica per quel numero primo.
Suppongo che Orsoulx sia partito da [x?, y?, $5^2·13$] trovando prima [x, y, z] =[36, 323, 325] {che è una terna pitagorica "platonica", cioè di quelle con scarto 2 tra cateto maggiore (dispari) ed ipotenusa}. Poi l'ha moltiplicata per 13
Eccone un'altra, sempre con ipotenusa 4225 = $65^2$, che mi pare ... parente di quella di Orsolulx!
$[x, y, z] = [615, 4180, 4225]$.
La sua (di Orsoulx) è del tipo $13·[ ..., ..., 5^2·13]$. La mia è del tipo $5·[..., ..., 5·13^2]$.
Secondo la "regola" del primo post di dan95 la terna con ipotenusa $65^2$ viene da
$m=8$ ∧ $n=1$ ⇒ $[a, b, c] = [3713, 2016, 4225]$ (primitiva)
Infatti allora
$c=(m^2 + n^2)^2 = (8^2+1^2)^2 = 4225$; $b= 4mn(m^2 - n^2) = 4·8·1·(8^2 – 1^2) = 2016$;
$a=(m^2 + n^2)^2 - 8m^2m^2 = 65^2 - 8·64·1 = 3713$.
La stessa terna viene con l'algoritmo di Erasmus partendo da $2n+1 = 65$ e quindi $q=65^2 = 4225$.
Infatti, cercando un pari $p$ e un dispari $d$ tali che $p^2 + d^2 = 4225$ si trova presto $p=16$ dato che $4225-16^2 = 63^2$, ossia $d=63$.
E con ciò:
$x= !d^2 - p^2|=63^2 - 16^2 = (63+16)(63-16) = 79·47 = 3713$;
$y=2·p·d=2·16·63 = 32·63=2016$.
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Altre terne pitagoriche con ipotenusa 4225 sono.
$[2047, 3696, 4225]$ (primitiva)
$5·[116, 837, 845]= [580,4185,4225]$ (altra parente di quella di Orsoulx, sorella della precedente terna di Erasmus);
$13·[204, 253, 325]=[2652, 3289, 4226]$ (sorella della terna di Orsoulx];
$5·13^2[3, 4, 5] = [2535, 3380, 4225]$;
$5^2·13[5, 12, 13] = [1625, 3900, 4225]$;
$5^2·[119, 120, 169] = [2975, 3000, 4225]$.
$13^2[7, 24, 25] = [1183, 4056, 4225]$;
Ma ... quante sono le terne pitagoriche con ipotenusa 4225?
Se non ne ho tralasciata qualcuna sono queste 10:
• Due primitive: [3713, 2016, 4225] e [2047, 3696, 4225];
• Due con fattore comune 13 ⇒ [488, 4199, 4225] (Orsoulx) e [2652, 3289, 4225];
• Due con fattore comune 5 ⇒ [615, 4180, 4225] e [580, 4185, 4225];
• Una con fattore comune $5^2$ = 25 ⇒ [2975, 3000, 4225];
• Una con fattore comune $13^2$ =169 ⇒ [1183, 4056, 4225];
• Una con fattore comune $5^2·13$ =325 ⇒ [1625, 3900, 4225];
• Una con fattore comune $5·13^2$ = 845 ⇒ [2535, 3380, 4225].
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Erasmus leggi il mio post e lo capirai...
[ot]Chiedo ... a chi ne sa più di me.
[Moderatori, ... ma anche dan95, orsoulx, ecc.]
Perché non vedo più il bottone "MODIFICA" nei miei "post" ?
Siccome, oltre ad essere sempre stato un pessimo dattilografo, sono sempre più "ipovedente", inevitabilmente faccio un sacco di errori di battitura. Anche se rileggo per correggere prima di cliccare "invia", poi ne vedo ancora parecchi quando rileggo i miei "post" già inviati (magari da giorni!).
Fino a ieri editavo e correggevo.
Da oggi non posso più perché non vedo più "MODIFICA" accando a "CITA" nei miei messaggi!
Dipende da me (cioè da qualche opzione che posso scegliere o no ... e che ho inavvertitamente disabilitato) o è cambiato qualcosa?
RIVOGLIO IL BOTTONE "MODIFICA"!
Se avete capito il mio problema e potete risolvermelo, dai: non mi offendo se mi fate notare dove mi sono eventualmente rincoglionito...
Grazie dell'attenzione.[/ot]
_______
------------------
P.S. (Editando)
Oops! Problòema SPARITO!
«O miracol, ch'il direbe
ch'il potrebbe raccontar?
[...]» [G. Carducci]
Alleluia, Alleluia!
In questo "post" vedo ora anche "MODIFICA"!
Giuro che prima negli altri miei messaggi non c'era (o meglio: pur esaminando diligentemente il mio messaggio in cerca del bottone "MODIFICA", io non lo vedevo). Ma che scherzo cinese è mai questo? Un attimo fa non c'era e adesso c'è !!!
Ne approfitto per segnalare il gradito miracolo.
Ciao ciao a tutti.
[Moderatori, ... ma anche dan95, orsoulx, ecc.]
Perché non vedo più il bottone "MODIFICA" nei miei "post" ?
Siccome, oltre ad essere sempre stato un pessimo dattilografo, sono sempre più "ipovedente", inevitabilmente faccio un sacco di errori di battitura. Anche se rileggo per correggere prima di cliccare "invia", poi ne vedo ancora parecchi quando rileggo i miei "post" già inviati (magari da giorni!).
Fino a ieri editavo e correggevo.
Da oggi non posso più perché non vedo più "MODIFICA" accando a "CITA" nei miei messaggi!
Dipende da me (cioè da qualche opzione che posso scegliere o no ... e che ho inavvertitamente disabilitato) o è cambiato qualcosa?
RIVOGLIO IL BOTTONE "MODIFICA"!
Se avete capito il mio problema e potete risolvermelo, dai: non mi offendo se mi fate notare dove mi sono eventualmente rincoglionito...
Grazie dell'attenzione.[/ot]
_______
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P.S. (Editando)
Oops! Problòema SPARITO!
«O miracol, ch'il direbe
ch'il potrebbe raccontar?
[...]» [G. Carducci]
Alleluia, Alleluia!
In questo "post" vedo ora anche "MODIFICA"!
Giuro che prima negli altri miei messaggi non c'era (o meglio: pur esaminando diligentemente il mio messaggio in cerca del bottone "MODIFICA", io non lo vedevo). Ma che scherzo cinese è mai questo? Un attimo fa non c'era e adesso c'è !!!
Ne approfitto per segnalare il gradito miracolo.
Ciao ciao a tutti.
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo