Intersezione tra parabole
Due parabole con assi perpendicolari tra loro si inntersecano in $4$ punti distinti. Dimostrare che essi stanno su una circonferenza.
Risposte
Senza perdita di generalità supponiamo che, sul piano cartesiano, gli assi delle due parabole siano rispettivamente $y=0$ e $x=0$. Tutti gli altri casi si riconducono a questo attraverso traslazioni e rotazioni.
Allora le due parabole sono della forma:
$p_1: x = ay^2 + b$
$p_2: y = cx^2 + d$
Sia ora $P(x,y)$ un punto di intersezione tra $p_1$ e $p_2$.
Dall'equazione di $p_1$ si ricava che $y^2 = x/a - b/a$.
Dall'equazione di $p_2$ si ricava che $x^2 = y/c - d/c$.
Sommando le due precedenti uguaglianze: $x^2 + y^2 = y/c - d/c + x/a - b/a$.
Che è l'equazione di una circonferenza, da cui la tesi.
Allora le due parabole sono della forma:
$p_1: x = ay^2 + b$
$p_2: y = cx^2 + d$
Sia ora $P(x,y)$ un punto di intersezione tra $p_1$ e $p_2$.
Dall'equazione di $p_1$ si ricava che $y^2 = x/a - b/a$.
Dall'equazione di $p_2$ si ricava che $x^2 = y/c - d/c$.
Sommando le due precedenti uguaglianze: $x^2 + y^2 = y/c - d/c + x/a - b/a$.
Che è l'equazione di una circonferenza, da cui la tesi.
Cosa ti assicura però che tale circonferenza sia reale?
Il fatto che per ipotesi esistono quattro punti distinti appartenenti ad essa
Esatto 
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