Inscritto e circoscritto

[axpgn]

Dato un triangolo isoscele, siano $r$ il raggio del cerchio inscritto in esso e $R$ il raggio del cerchio circoscritto ad esso.

Dimostrare che la distanza $d$ tra i centri di questi due cerchi è pari a $d=sqrt(R(R-2r))$




Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Scommetto che ci sono soluzioni più eleganti della mia, ma è pur sempre una soluzione.

Il triangolo è ABC di vertice A; H è il punto medio delle base; O è il circocentro ed I l'incentro; $alpha, beta$ hanno il significato usuale e si ha $alpha=pi-2 beta$.
Uso la formula $tan frac beta 2=(1-cos beta)/(sin beta)$, non molto nota ma facilmente dimostrabile.

Traccio i segmenti BO e BI e noto che
$BhatOH=2* BhatAH=2*alpha/2=alpha$ e quindi
$OH=OBcos alpha=R cos(pi-2 beta)=-Rcos 2beta=R(1-2cos^2 beta)$
$BH=OB sin alpha=Rsin(pi-2 beta)=R sin 2 beta=2Rsin beta cos beta$

L'incentro è il punto di incontro delle bisettrici, quindi
$r=IH=BH tan frac beta 2=2Rsin beta cos beta*(1-cos beta)/(sin beta)=2Rcos beta(1-cos beta)$

La distanza $d$ è il valore assoluto di $a$, avendo posto
$a=OH-IH=R(1-2cos^2 beta)-2Rcos beta(1-cos beta)=R(1-2cos beta)$
Da questa formula ricavo $cos beta=(R-a)/(2R)$ e lo sostituisco nella formula di $r$, ottenendo
$r=2R*(R-a)/(2R)(1-(R-a)/(2R))->r=(R-a)*(R+a)/(2R)->2rR=R^2-a^2$
e concludo con
$d=|a|=sqrt(R^2-2rR)$

[axpgn]

Molto bene!

E una soluzione senza trigonometria?


Cordialmente, Alex

[kilogrammo1]

Siano: $b$ base del triangolo, $h$ altezza relativa alla base, $p$
perimetro del triangolo,$x$ distanza tra i due centri.

Prolungando l'altezza fino ad incontrare la circonferenza circoscritta
si forma un triangolo rettangolo applicando ad esso il secondo teorema di Euclide si ha:

$\frac{b^{2}}{4}=h(2R-h)$ , $b^{2}=4h(2R-h)$

Inoltre:

$h=r+x+R$

$p=b+2\sqrt{h^{2}+\frac{b^{2}}{4}}=b+\sqrt{4h^{2}+b^{2}}$ ( Teo.di Pitagora)

$pr=bh$ ( semiperimetro per raggio inscritto uguale area)

Dalle ultime due equazioni:

$bh=br+r\sqrt{4h^{2}+b^{2}}$

$r^{2}(4h^{2}+b^{2})=(bh-br)^{2}$

$4r^{2}h^{2}+b^{2}r^{2}=b^{2}h^{2}-2b^{2}hr+b^{2}r^{2}$

$4r^{2}h^{2}=b^{2}h^{2}-2b^{2}hr$

$4r^{2}h=b^{2}h-2b^{2}r$

$4r^{2}h=b^{2}(h-2r)$

Con la prima equazioni si ha:

$4r^{2}h=4h(2R-h)(h-2r)$

$r^{2}=(2R-h)(h-2r)$

sostituendo $h=r+x+R$

$r^{2}=(2R-r-x-R)(r+x+R-2r)$

$r^{2}=(R-r-x)(R+x-r)$

$r^{2}=(R-r)^{2}-x^{2}$

$x^{2}=(R-r)^{2}-r^{2}=R(R-2r)$

$x=\sqrt{R(R-2r)}$

[axpgn]

Benissimo!


Adesso manca solo una dimostrazione con la sintetica


Cordialmente, Alex