Indam 2011/12 es.1
Salve a tutti ragazzi!
Poichè quest'anno andrò ad iscrivermi alla facoltà di matematica ho deciso di tentare il concorso per la borsa di studio dell'Indam e quindi sto risolvendo i problemi degli anni precedenti.
L'esercizio che vi proporrò io l'ho risolto (credo nel modo giusto), però vorrei sapere da voi se magari c'è qualche modo più rapido per trovare la soluzione rispetto al metodo che ho usato io.
Il testo dell'esercizio è:
In un triangolo di lati AB = 20, BC = 20, AC = 24, si traccia una semicirconferenza, il cui diametro DE e contenuto nel lato ` BC, in modo che essa sia tangente ai lati AB e AC. Quanto misura DE?
Possibili risposte:
A. $96/5$ B. $52/3$ C. $122/7$ D. $225/13$ E. $192/11$
Io lo ho risolto così:
Inserendo il triangolo in un sistema di assi cartesiani (con AC su x) e calcolando gli angoli attraverso il teorema dei seni ho trovato le rette su cui giacciono i segmenti AB e BC.
A questo punto poichè la distanza di un punto dall'asse delle ascisse non è altro che la sua ordinata ho dedotto che il centro della semicirconferenza dovesse essere quel punto giacente sulla retta su cui giace anche BC che avesse distanza dalla retta su cui giace AB uguale alla sua ordinata.
Ho impostato il sistema e dopo un po' di calcoli ho trovato che questo punto ha ordinata uguale a $96/11$.
Poichè questa ordinata non è altro che il raggio della semicirconferenza l'ho moltiplicata per due trovando che la soluzione è la E.
La mia domanda è, appunto, c'era un modo più veloce?
Vi ringrazio e spero di essermi spiegato
Poichè quest'anno andrò ad iscrivermi alla facoltà di matematica ho deciso di tentare il concorso per la borsa di studio dell'Indam e quindi sto risolvendo i problemi degli anni precedenti.
L'esercizio che vi proporrò io l'ho risolto (credo nel modo giusto), però vorrei sapere da voi se magari c'è qualche modo più rapido per trovare la soluzione rispetto al metodo che ho usato io.
Il testo dell'esercizio è:
In un triangolo di lati AB = 20, BC = 20, AC = 24, si traccia una semicirconferenza, il cui diametro DE e contenuto nel lato ` BC, in modo che essa sia tangente ai lati AB e AC. Quanto misura DE?
Possibili risposte:
A. $96/5$ B. $52/3$ C. $122/7$ D. $225/13$ E. $192/11$
Io lo ho risolto così:
Inserendo il triangolo in un sistema di assi cartesiani (con AC su x) e calcolando gli angoli attraverso il teorema dei seni ho trovato le rette su cui giacciono i segmenti AB e BC.
A questo punto poichè la distanza di un punto dall'asse delle ascisse non è altro che la sua ordinata ho dedotto che il centro della semicirconferenza dovesse essere quel punto giacente sulla retta su cui giace anche BC che avesse distanza dalla retta su cui giace AB uguale alla sua ordinata.
Ho impostato il sistema e dopo un po' di calcoli ho trovato che questo punto ha ordinata uguale a $96/11$.
Poichè questa ordinata non è altro che il raggio della semicirconferenza l'ho moltiplicata per due trovando che la soluzione è la E.
La mia domanda è, appunto, c'era un modo più veloce?
Vi ringrazio e spero di essermi spiegato
Risposte
Ecco un metodo veloce: calcolo inizialmente $S(ABC)=192$. Trattandosi di un triangolo isoscele, il calcolo è facile; altrimenti avrei usato la formula di Erone. Noto ora che $AO$ (O è il centro) divide $ ABC$ in due triangoli di base $AB, AC$ rispettivamente ed altezza il raggio $r$, quindi
$1/2*20r+1/2*24r=192->r=192/22->DE=2r=192/11$
$1/2*20r+1/2*24r=192->r=192/22->DE=2r=192/11$
Grazie! Immaginavo ci fosse una soluzione più rapida! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo