Il triangolo

[Sascia63]

Propongo un altro problema :
In un triangolo scaleno con lati di lunghezza intera $a,b$ e $c$ si ha che $a^2+b^2+c^2=2018$.
Trovare il perimetro del triangolo.

[axpgn]

Mah, io l'ho trovato facendo qualche conto, spiego come ...

$a=20, b=23, c=33$

Tenendo presente che il quadrato del perimetro è più del doppio di quella somma di quadrati, ho iniziato con la terna $20, 21, 22$ e son bastati pochi calcoli per giungere alla soluzione ...

Cordialmente, Alex

[Sascia63]

Sempre tu Alex sei veramente bravo... io non ci sarei mai arrivato così velocemente

Comunque non ho capito perchè sei partito dalla terna $20,21,22$
Io ho sfruttato un po' le disuguaglianze tra le medie e ho trovato che $2P<=77$, che $min{a,b,c}<=25$.
Non so se sia un caso che il perimetro venga proprio 76.

[axpgn]

No, quelli veramente bravi sono orsoulx, giammaria o dan95, solo per citare gli ultimi intervenuti ... credimi, io mi "arrabatto"

Son partito da quella terna perché $(a+b+c)^2$ è quasi il triplo di $a^2+b^2+c^2$ e comunque più del doppio, quindi dato che la radice di $4000$ è un po' più di $60$ ...

Cordialmente, Alex

[Sascia63]

Non credo proprio! Comunque:

Forse sono stupido io ma perché$(a+b+c)^2$ è quasi il triplo di 2018?
Oltre a quello che ho detto si può aggiungere che uno tra $a,b$ e $c-=0 mod(4)$ e $mod (3)$
In questo caso $20$ e $33$

[axpgn]

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)$

Ora, dato che i tre prodotti $ab, ac, bc$ grossolanamente sono dello stesso ordine di grandezza dei tre quadrati possiamo approssimare il tutto (in modo oltremodo grezzo) al triplo della somma dei tre quadrati.
Per essere "più sicuro" son partito dal doppio, diciamo $4000$, la cui radice è grossomodo più di $60$ e quindi $60~=20+21+22$

Ovviamente è un modo di "lavorare" decisamente grezzo e approssimato però ti permette in poco tempo (e con un po' di fortuna, come diceva anche orsoulx ) di giungere a una soluzione.
Certamente arrivarci analiticamente è più elegante (ed anche soddisfacente) ma in una gara il tempo conta e se non ti viene l'idea giusta, bisogna arrangiarsi ...

Cordialmente, Alex