Girare in tondo

[axpgn]

Due cerchi di raggi $r$ e $R$ si intersecano in due punti.
Due particelle partono nello stesso istante da uno dei punti di intersezione e percorrono, in senso antiorario e a velocità costante, ognuna il rispettivo cerchio, compiendo una rivoluzione nello stesso tempo e ritrovandosi quindi nello stesso istante nel punto in cui sono partite.

Qual è il luogo dei punti del punto medio del segmento che unisce le due particelle?


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Ci sono ancora... !

Risposta:

Un cerchio

[Quinzio]

Aggiungo la dimostrazione:

In realta' questa proprieta' non e' limitata solo a due cerchi nelle condizioni del problema, ma vale per tutte le coppie di cerchi sul piano.
Si prendono due cerchi concentrici, e si tracciano due raggi $OA$ e $OB$ (uno su ogni cerchio).
Con la rotazione dei raggi (nello stesso verso e con lo stesso angolo) anche il segmento $AB$ ruota attorno al centro comune.
E ovvio che il punto medio di $AB$ descrive un terzo cerchio.
Se ora si trasla uno dei due cerchi, l'insieme dei punti medi subisce anch'esso una traslazione (la meta' della nuova distanza dei due centri).
Quindi anche il terzo cerchio viene semplicemente traslato, rimanendo un cerchio.
Il problema evidenzia solo un caso particolare in cui i due cerchi si intersecano e i due raggi, a un certo punto della rotazione, condividono un estremo.

[axpgn]

Bentornato!

Questo

"Quinzio":

Un cerchio

non è sufficiente.

"Quinzio":... Se ora si trasla uno dei due cerchi, l'insieme dei punti medi subisce anch'esso una traslazione (la meta' della nuova distanza dei due centri).
Quindi anche il terzo cerchio viene semplicemente traslato, rimanendo un cerchio.

L'idea è interessante ma ... nel caso che porti ad esempio, $AB$ è fisso, la loro posizione relativa è fissa, è chiaro che anche il punto medio descriva un cerchio.
Ma quando trasli un cerchio, $AB$ è variabile e come fai ad essere sicuro che il punto medio descriva ancora un cerchio invece, che ne so, un'ellisse?

[Quinzio]

...

[axpgn]

Due cose:

- come ho detto la risposta "un cerchio" non è sufficiente; quale cerchio? dov'è questo cerchio? ecc.

- non capisco i conti, mi sembra un miscuglio di misure, punti e vettori, non mi ci raccapezzo

[Quinzio]

Ho cambiato solo due dettagli.

"axpgn":

[quote="Quinzio"]
Ma quando trasli un cerchio, $AB$ è variabile e come fai ad essere sicuro che il punto medio descriva ancora un cerchio invece, che ne so, un'ellisse?

[/quote]

Proviamo a vederlo in modo "vettoriale"/

I due raggi dei due cerchi generici sono $OA$ e $O'B'$.

Il punto medio e' $M = (OA + O'B')/2$

Possiamo scrivere $O'B' = OB + OO'$ dove $OB$ e' una traslazione di $O'B'$.

Quindi $M = (OA + OB + OO')/2 = (OA + OB)/2 + (OO')/2$

Adesso $OAB$ e' un triangolo "rigido" che ruota attorno a $O$, quindi $(OA + OB)/2$ descrive un cerchio, come tutti i punti del triangolo $OAB$.

$(OO')/2$ e' una semplice traslazione "fissa" di un punto.

Se un punto che si muove descrive una figura, lo stesso punto traslato (ovvero $M$) descrive una figura identica.

[Quinzio]

"axpgn":Due cose:

- come ho detto la risposta "un cerchio" non è sufficiente; quale cerchio? dov'è questo cerchio? ecc.

- non capisco i conti, mi sembra un miscuglio di misure, punti e vettori, non mi ci raccapezzo

La domanda era "quale e' il luogo dei punti ... ". La risposta e' " un cerchio".
Comunque il centro del cerchio medio e' il punto medio dei due centri originali.
Il suo raggio e' la media dei raggi.

Ho fatto anche un'animazione.
https://www.geogebra.org/calculator/trwjxtmn
Piu' di cosi' non saprei cosa fare.

[axpgn]

"Quinzio":La domanda era "quale e' il luogo dei punti ... ".

Appunto. "Qual è" non "Quale figura è"

"Quinzio":Comunque il centro del cerchio medio e' il punto medio dei due centri originali.

Sì

"Quinzio":Il suo raggio e' la media dei raggi.

No



Purtroppo continuo a non capire i calcoli che fai, peraltro se ti portano a concludere che quello è il raggio c'è qualcosa che non va ...

[moccidentale]

.

[Quinzio]

"axpgn":[quote="Quinzio"]La domanda era "quale e' il luogo dei punti ... ".

Appunto. "Qual è" non "Quale figura è"

"Quinzio":Comunque il centro del cerchio medio e' il punto medio dei due centri originali.

Sì

"Quinzio":Il suo raggio e' la media dei raggi.

No



Purtroppo continuo a non capire i calcoli che fai, peraltro se ti portano a concludere che quello è il raggio c'è qualcosa che non va ...

[/quote]

No, il raggio non e' quello, ho fatto confusione.

Prendendo il triangolo di lati $a, b, c$ dove $a, b$ sono i due raggi e $c$ e' la distanza tra i centri,
per calcolare l'angolo $\theta$ tra $a$ e $b$ usiamo il teorema di Carnot:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \theta$

da cui

$\theta = \arccos ((a^2 + b^2 - c^2)/(2ab))$

Ora, usando la dimostrazione che ho dato in precedenza, se trasliamo uno dei due cerchi in modo che siano concentrici, il raggio del terzo cerchio (quello di cui determinare il raggio) non cambia.

Quindi ora abbiamo i due cerchi di raggio $a$ e $b$ concentrici.
Un raggio va da $O$, il centro, a $(a, 0)$.
L'altro va da $O$ a $(b cos \theta, b \sin \theta)$.
Il punto medio tra gli estremi di ciascun raggio e' $((a+b cos \theta)/2, (b \sin \theta)/2)$,
da cui il raggio $\sqrt (((a+b cos \theta)/2)^2 + ((b \sin \theta)/2)^2) = 1/2\sqrt(a^2+b^2 + 2ab cos\theta)$.

Sostituendo $\theta$ si arriva a $1/2\sqrt(2a^2+2b^2 -c^2)$ che e' il raggio del cerchio dei punti medi.

[axpgn]

@sellacollesella

Non capisco i suoi, figuriamoci i tuoi

Hai scritto le equazioni delle circonferenze in forma parametrica (non so quanti le studino alle Superiori), una centrata nell'origine e l'altra spostata in modo tale che si intersechino.
Poi le eguagli per trovare i punti di intersezione (sui conti non entro però cosa significa la virgola dopo la radice, non è un numero la fase?)
Applichi la formula del punto medio e sviluppi i conti ( )

[Quinzio]

"axpgn":@sellacollesella

Non capisco i suoi, figuriamoci i tuoi

Hai scritto le equazioni delle circonferenze in forma parametrica (non so quanti le studino alle Superiori), una centrata nell'origine e l'altra spostata in modo tale che si intersechino.
Poi le eguagli per trovare i punti di intersezione (sui conti non entro però cosa significa la virgola dopo la radice, non è un numero la fase?)
Applichi la formula del punto medio e sviluppi i conti ( )

Ho fatto in tempo a vedere la formula che avevi scritto.

La mia formula e quella di sellacollesella invece sono uguali...

[axpgn]

Te la riscrivo ma corretta, prima son stato troppo veloce e avevo scritto una cavolata ...

$r^2+R^2=2r_m^2+2(d/2)^2$ dove $d$ è la distanza tra i due centri e non la somma dei raggi come avevo scritto prima.

Non è più semplice?

[moccidentale]

.

[axpgn]

"sellacollesella":Ho usato l'arcotangente2,

C'è sempre qualcosa da imparare

L'autore la fa ancora più semplice usando però uno strumento che non conosco proprio ...

Let $c_1$ be the center of the circle of radius $r$ and $c_2$ the center of the circle of radius $R$.
Let $p_1(t)$ and $p_2(t)$ be the positions of the two particles at time $t$.
Set $p(0) = p_1(0) = p_2(0)$, i.e., the intersection point where the particles start.
Then $p_1(t) = M_t(p(0)-c_1) + c_1$ and $p_2(t) = M_t(p(0)-c_2) + c_2$ where $M_t$ is a rotation operator corresponding to time $t$. (We don't need to write $M_t$ explicitly.)
Hence, the midpoint $\bar(p)(t)$ of the line segment joining $p_1(t)$ and $p_2(t)$ is given by $\bar(p)(t)=(p_1(t)+p_2(t))/2=M_t(p(0)-(c_1+c_2)/2)+(c_1+c_2)/2$.
Therefore, the locus is a circle centered at the midpoint of the line segment joining the
circles' centers and passing through the circles' two intersection points.

Cos'è il rotation operator? Grosso modo capisco che sia una funzione che preso un oggetto in entrata te lo restituisce "ruotato"

[moccidentale]

.

[axpgn]

Concordo