Geometria e calcolo

[Bokonon]

Prendendo spunto da un esercizio postato da poco
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 1&t=215935
vi propongo una variante che dovrebbe essere accessibile agli studenti dell'ultimo anno del liceo scientifico.

Un cerchio di raggio $r_0$ è inscritto in un quadrato.
Quando si raddoppia il lato del quadrato, il raggio si dimezza.
Trovare la funzione della differenza delle due aree (area quadrato-area cerchio) $A(r)$ al variare di $0

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Risposte

Folpo13

6 nov 2021, 16:27

Il lato del quadrato è $2r_0/r$

Quindi

$A(r)=4(r_0/r)^2-\pir^2$

Giusto?

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Bokonon

6 nov 2021, 17:47

"Folpo13":
Giusto?

Temo di no. Basta sostituire $r=r_0$ per sincerarsene

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Folpo13

6 nov 2021, 20:58

Vero...

Il lato è $2r_0/r$ volte $r_0$

Quindi

$A(r)=4(r_0^2/r)^2-\pir^2$

Spero di non aver fatto ancora casini

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Bokonon

7 nov 2021, 00:53

@Folpo

$A(r)=[L(r)]^2-pir^2$
Concentriamoci quindi sulla funzione $L(r)$.
Tu proponi $L(r)=(2r_0^2)/r$ pertanto $L'(r)=-(2r_0^2)/r^2$

Nota che, SE avessi chiesto "sotto l'ipotesi che il lato cresca in modo inversamente proporzionale al quadrato del raggio", allora avremmo $L'(r)=k/r^2 rArr L(r)=-k/r+C$
Usando i due vincoli $L(r_0)=2r_0$ e $L(r_0/2)=4r_0$ otteniamo appunto $k=-2r_0^2$ e $C=0$
Da cui $L(r)=-k/r+C=(2r_0^2)/r$
Pertanto la tua risposta sarebbe stata corretta!

...ma l'ipotesi è che $L'(r)=k/r$
Ora dovresti saper ricavare la funzione corretta

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Folpo13

7 nov 2021, 09:11

Vedo il problema...

Metto $d/(dr)L(r)=k/r$

Quindi $L(r)=klnr+c$

Sappiamo che $L(r_0)=2r_0=klnr_0+c$

Da cui si ricava che $c=2r_0-klnr_0$

Inoltre $L(r_0/2)=4r_0=kln(r_0/2)+c$

$4r_0=klnr_0-kln2+2r_0-klnr_0$

Quindi $k=-(2r_0)/ln2$

Quindi $L(r)=2r_0+(2r_0)/(ln2)(lnr_0-lnr)$

E $A(r)=L^2(r)-\pir^2$ come prima

Ora?

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Bokonon

7 nov 2021, 12:38

"Folpo13":
Ora?

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[Folpo13]

Il lato del quadrato è $2r_0/r$

Quindi

$A(r)=4(r_0/r)^2-\pir^2$

Giusto?

[Bokonon]

"Folpo13":
Giusto?

Temo di no. Basta sostituire $r=r_0$ per sincerarsene

[Folpo13]

Vero...

Il lato è $2r_0/r$ volte $r_0$

Quindi

$A(r)=4(r_0^2/r)^2-\pir^2$

Spero di non aver fatto ancora casini

[Bokonon]

@Folpo

$A(r)=[L(r)]^2-pir^2$
Concentriamoci quindi sulla funzione $L(r)$.
Tu proponi $L(r)=(2r_0^2)/r$ pertanto $L'(r)=-(2r_0^2)/r^2$

Nota che, SE avessi chiesto "sotto l'ipotesi che il lato cresca in modo inversamente proporzionale al quadrato del raggio", allora avremmo $L'(r)=k/r^2 rArr L(r)=-k/r+C$
Usando i due vincoli $L(r_0)=2r_0$ e $L(r_0/2)=4r_0$ otteniamo appunto $k=-2r_0^2$ e $C=0$
Da cui $L(r)=-k/r+C=(2r_0^2)/r$
Pertanto la tua risposta sarebbe stata corretta!

...ma l'ipotesi è che $L'(r)=k/r$
Ora dovresti saper ricavare la funzione corretta

[Folpo13]

Vedo il problema...

Metto $d/(dr)L(r)=k/r$

Quindi $L(r)=klnr+c$

Sappiamo che $L(r_0)=2r_0=klnr_0+c$

Da cui si ricava che $c=2r_0-klnr_0$

Inoltre $L(r_0/2)=4r_0=kln(r_0/2)+c$

$4r_0=klnr_0-kln2+2r_0-klnr_0$

Quindi $k=-(2r_0)/ln2$

Quindi $L(r)=2r_0+(2r_0)/(ln2)(lnr_0-lnr)$

E $A(r)=L^2(r)-\pir^2$ come prima

Ora?

[Bokonon]

"Folpo13":
Ora?