Geometria

[giulylanza06]

Sia ABC un triangolo con AB > AC. Chiamiamo D il piede dell’altezza da A a BC, E ed F i punti medi dei lati AD e BC rispettivamente e G il piede della perpendicolare da B ad AF. Dimostrare che EF tange in F la circonferenza passante
per G , F , C.

[Sk_Anonymous]

Puoi dare un'indicazione del livello di difficoltà del problema?

[giulylanza06]

A mio parere, abbastanza elevato

[Sk_Anonymous]

"gl630":A mio parere, abbastanza elevato

Viene da qualche contest, rivista o è frutto di tue riflessioni?

[giulylanza06]

"sprmnt21":[quote="gl630"]A mio parere, abbastanza elevato

Viene da qualche contest, rivista o è frutto di tue riflessioni?[/quote]
Vagando per il forum olimat mi è sembrato interessante, ma non so se derivi da qualche gara in particolare

[Sk_Anonymous]

Sia $I$ il piede della perpendicolare da $C$ a $BG$. I triangoli $BCI$ e $AFD$ sono simili. Essendo $G$ ed $E$ punti medi dei rispettivi lati [nota]qua è ossibile una piccola generalizzazione se al posto dei punti medi si scelgono dei punti su $BC$ e $AD$ in posizioni "simile" sui rispettivi segmenti[/nota] anche i traiangoli $GCI$ e $EFD$ sono simili. Pertanto $\angle EFD =\angle GCI$. Ma $\angle GCI= \angle FGC$ essendo $FG$ parallela a $CI$. Quindi $\angle EFD =\angle FGC$, da cui segue la tesi [angolo alla circonferenza ugaule all'angolo formato dalla corda con la tangente].

[Sk_Anonymous]

una soluzione alternativa

Siano $I$,$J$ ed $L$ i punti di intersezione della perpendicolare per $C$ a $BC$ con $AF$, $BG$ ed $EF$ rispettivamente. Per Talete applicato al fascio di rette per $F$ tagliate dalle parallele $AD$ e $IC$ si ha che $L$ è il punto medio di $IJ$. P eertanto, essendo per ipotesi $F$ il punto medio di $BC$, le rette $BI$ ed $FL$ sono parallele.
Dato che gli angoli in $G$ e $C$ sono retti, il quadrilatero $JGFC$ è ciclico, in particolare J appartiene al cerchio per $G$, $F$ e $C$.
Consideriamo ora il triangolo $BIJ$.
Le rette $IG$ e $BC$ sono due altezze ed $F$ ne è l’ortocentro. Da ciò discende che la retta per $J$ ed $F$ è ortogonale a $BI$ e, per quanto cisto, ad $FE$. La circostanza, di facile verifica, che $JF$ sia un diametro di $c(GFC)$ chiude il cerchio.