Funzione crescente e completamente moltiplicativa

[marco.ve1]

SIa f una funzione definita nell'insieme degli interi positivi a valori interi positivi, strettamente crescente e completamente moltiplicativa (cioè f(nm)=f(n)*f(m)).
Dimostra che se f(2)=2 allora f(n)=n per qualsiasi n.
(Cesenatico 1998)

Quello che volevo sapere è se la mia soluzione, che posto qui sotto, è corretta.

Si dimostra per induzione che [tex]f(2^n)=2^n[/tex], infatti [tex]f(2)=2[/tex] e assumendo che la proprietà valga per un certo n si ha [tex]f(2^{n+1})=2f(2^n)=2^{n+1}[/tex] pertanto la proprietà vale sempre.
Poichè tra 1 e [tex]2^n-1[/tex] ci sono [tex]2^n-1[/tex] valori e f è crescente deve essere f(k)=k (per ogni [tex]1 \le k\le2^n-1[/tex]) e visto che è possibile trovare un n tale che 2^n sia grande a piacere si ha f(n)=n per ogni n intero positivo.

[Vincent46]

Mi sembra corretta.