Frazioni matte e altro
Ecco dei quesiti in cui ho trovato delle difficoltà. Vorrei chiarirle, e per questo voglio vedere come ve la cavate (non sono difficili).
1)Chi sa trovare altre frazioni del tipo $166/664$ a cui, se si semplificano i sei, rimane il risultato esatto della divisione? Infatti cancellando i 6 si ottiene $1/4$ che è come se avessimo semplificato normalmente.
Si mostri il criterio che ha seguito.
2)Il doppio di $421052631578947368$ si ottiene spostando l'ultima cifra ponendola per prima. Chi sa spiegare questo fatto? C'è un criterio per il quale si fa ciò oppure no?
3)Quanti mezzi metri quadri occorrono per formare un metro quadro? Si mostri il ragionamento.
4) Se l'orologio di un campanile impiega 12 secondi per battere le quattro, quanto tempo è necessario per battere la mezzanotte?
1)Chi sa trovare altre frazioni del tipo $166/664$ a cui, se si semplificano i sei, rimane il risultato esatto della divisione? Infatti cancellando i 6 si ottiene $1/4$ che è come se avessimo semplificato normalmente.
Si mostri il criterio che ha seguito.
2)Il doppio di $421052631578947368$ si ottiene spostando l'ultima cifra ponendola per prima. Chi sa spiegare questo fatto? C'è un criterio per il quale si fa ciò oppure no?
3)Quanti mezzi metri quadri occorrono per formare un metro quadro? Si mostri il ragionamento.
4) Se l'orologio di un campanile impiega 12 secondi per battere le quattro, quanto tempo è necessario per battere la mezzanotte?
Risposte
"Luca":
1)Chi sa trovare altre frazioni del tipo $166/664$ a cui, se si semplificano i sei, rimane il risultato esatto della divisione? Infatti cancellando i 6 si ottiene $1/4$ che è come se avessimo semplificato normalmente.
Si mostri il criterio che ha seguito.
Il procedimento non lo spoilerizzo perché sono andato abbastanza a caso.
"Luca":
2)Il doppio di $421052631578947368$ si ottiene spostando l'ultima cifra ponendola per prima. Chi sa spiegare questo fatto? C'è un criterio per il quale si fa ciò oppure no?
Non lo so, ma il numero non mi è nuovo.
"Luca":
3)Quanti mezzi metri quadri occorrono per formare un metro quadro? Si mostri il ragionamento.
Domanda trabocchetto.
"Luca":
4) Se l'orologio di un campanile impiega 12 secondi per battere le quattro, quanto tempo è necessario per battere la mezzanotte?
Abito lontano dalla chiesa e anche se fosse a quell'ora in genere dormo quindi non so quanti rintocchi ci sono a mezzanotte!
Ergo non posso rispondere per ignoranza fisica.
4) Se l'orologio di un campanile impiega 12 secondi per battere le quattro, quanto tempo è necessario per battere la mezzanotte?
Il tempo necessario non è quello del tocco, abbastanza breve da considerarsi trascurabile, ma la pausa tra un tocco e il successivo. Nel battere 4 tocchi ci sono 3 pause, ciascuna, quindi da $12:3=4$ secondi, nel battere la mezzanotte supponendo che i tocchi siano 12, quindi con 11 pause, impiega $11*4=44$ secondi, se i tocchi fossero 24, quindi con 23 pause, impiegherebbe $23*4=92$ secondi.
"Luca":
1)Chi sa trovare altre frazioni del tipo $166/664$ a cui, se si semplificano i sei, rimane il risultato esatto della divisione? Infatti cancellando i 6 si ottiene $1/4$ che è come se avessimo semplificato normalmente.
Si mostri il criterio che ha seguito.
Eccone alcune che mi sono venute in mente:
Ne metto altre quando mi verranno in mente
Per il primo: metto la dimostrazione che fa il libro; io non l'ho capita molto bene.
Basta impostare l'equazione
$(10a+b)/(10b+c)=a/c$
eliminando il denominatore e risolvendo rispetto alla $c$, si ottiene
$c=(10ab)/(9a+b)$
Si tratta ora di trovare quei valori di $a$ e $b$ compresi tra 1 e 9 che forniscono anche per $c$ un valore intero compreso tra 1 e 9.
QUESITO LAMPO
Quanti miliardi di minuti sono trascorsi dalla nascita di Gesù ad oggi?
Basta impostare l'equazione
$(10a+b)/(10b+c)=a/c$
eliminando il denominatore e risolvendo rispetto alla $c$, si ottiene
$c=(10ab)/(9a+b)$
Si tratta ora di trovare quei valori di $a$ e $b$ compresi tra 1 e 9 che forniscono anche per $c$ un valore intero compreso tra 1 e 9.
QUESITO LAMPO
Quanti miliardi di minuti sono trascorsi dalla nascita di Gesù ad oggi?
"Luca":
I numeri molto grandi e molto piccoli spesso ci inducono in errore perchè perdiamo di vista il loro valore. Con la svalutazione galoppante del denaro in atto da alcuni anni, sentiamo spesso parlare di miliardi di lire (anche se la maggior parte di noi non ne ha mai visto uno). Ma quanto è grande un miliardo?
Per esempio, quanti miliardi di minuti pensiate siano trascorsi dalla nascita di Gesù Cristo ad oggi?
questa mi è piaciuta molto: sono andato a controllare, e se non sbaglio sono passati circa 1 miliardo di minuti 
2)Una soluzione...mostruosa 
Pongo :
$N= 421052631578947368 , M=842105263157894736 $
In base 10 abbiamo che :
$M=8\cdot10^{17}+4\cdot10^{16} +2\cdot10^{15} +(1\cdot10^{14} + 0\cdot10^{13}) + (5\cdot10^{12} + 2\cdot10^{11}+6\cdot10^{10}) +(3\cdot10^{9})$ $+(1\cdot10^{8}$ $+ 5\cdot10^{7} + 7\cdot10^{6} +8\cdot10^{5})+(9\cdot10^{4} +4\cdot10^{3}) +(7\cdot10^{2} + 3\cdot10^{1} + 6\cdot10^{0})$
Modificando opportunamente i termini in parentesi, risulta :
$M= 8\cdot10^{17}+4\cdot10^{16} +2\cdot10^{15} +(0\cdot10^{14} + 10\cdot10^{13}) + (4\cdot10^{12} + 12\cdot10^{11}+6\cdot10^{10}) +(2\cdot10^{9}$ $+10\cdot10^8)$ $+(14\cdot10^{7}+$ $16\cdot10^{6} + 18\cdot10^{5} )+(8\cdot10^{4} +14\cdot10^{3}) +(6\cdot10^{2} + 12\cdot10^{1} + 16\cdot10^{0})$
Raccogliendo il fattore 2 :
$M= 2[ 4\cdot10^{17}+2\cdot10^{16} +1\cdot10^{15} +0\cdot10^{14} + 5\cdot10^{13} + 2\cdot10^{12} + 6\cdot10^{11}+3\cdot10^{10} +1\cdot10^{9}$$+5\cdot10^8$ $+7\cdot10^{7}+$ $8\cdot10^{6} + 9\cdot10^{5}+4\cdot10^{4} +7\cdot10^{3} +3\cdot10^{2} + 6\cdot10^{1} + 8\cdot10^{0}]$
Ovvero :
$M=2\cdot [$421052631578947368 $]=2cdot N$
C.V.D. 
Pongo :
$N= 421052631578947368 , M=842105263157894736 $
In base 10 abbiamo che :
$M=8\cdot10^{17}+4\cdot10^{16} +2\cdot10^{15} +(1\cdot10^{14} + 0\cdot10^{13}) + (5\cdot10^{12} + 2\cdot10^{11}+6\cdot10^{10}) +(3\cdot10^{9})$ $+(1\cdot10^{8}$ $+ 5\cdot10^{7} + 7\cdot10^{6} +8\cdot10^{5})+(9\cdot10^{4} +4\cdot10^{3}) +(7\cdot10^{2} + 3\cdot10^{1} + 6\cdot10^{0})$
Modificando opportunamente i termini in parentesi, risulta :
$M= 8\cdot10^{17}+4\cdot10^{16} +2\cdot10^{15} +(0\cdot10^{14} + 10\cdot10^{13}) + (4\cdot10^{12} + 12\cdot10^{11}+6\cdot10^{10}) +(2\cdot10^{9}$ $+10\cdot10^8)$ $+(14\cdot10^{7}+$ $16\cdot10^{6} + 18\cdot10^{5} )+(8\cdot10^{4} +14\cdot10^{3}) +(6\cdot10^{2} + 12\cdot10^{1} + 16\cdot10^{0})$
Raccogliendo il fattore 2 :
$M= 2[ 4\cdot10^{17}+2\cdot10^{16} +1\cdot10^{15} +0\cdot10^{14} + 5\cdot10^{13} + 2\cdot10^{12} + 6\cdot10^{11}+3\cdot10^{10} +1\cdot10^{9}$$+5\cdot10^8$ $+7\cdot10^{7}+$ $8\cdot10^{6} + 9\cdot10^{5}+4\cdot10^{4} +7\cdot10^{3} +3\cdot10^{2} + 6\cdot10^{1} + 8\cdot10^{0}]$
Ovvero :
$M=2\cdot [$421052631578947368 $]=2cdot N$
C.V.D.
Quesito 2
Lo modifico lievemente in "trovare il numero in questione" (uno o più) e riporto quella che mi sembra la soluzione più bella, avvisando che non è mia. Io avevo ne avevo però trovata un'altra, del tutto accessibile a livello di secondaria; a livello universitario ce ne sono altre ancora.
Sia $a$ il numero da trovare e sia $q$ la sua ultima cifra, quella che spostiamo; sia $b$ il numero doppio. Indichiamo con $x,y$ i numeri periodici che iniziano con $0,$ seguiti periodicamente da $a$ e da $b$ rispettivamente. Se moltiplichiamo $y$ per 10, le cifre dopo la virgola daranno proprio $x$, mentre prima della virgola ci sarà $q$, quindi
$10y=q+x$
Ma, essendo $b=2a$, si ha $y=2x$; mettendo a sistema si ottiene $x=q/19$.
Dando a $q$ un qualsiasi valore da 1 a 9, $a$ è il periodo di questa divisione (se $q=1$, la prima cifra di $a$ è zero: volendo, si può scartare questo caso): possiamo prenderlo una sola volta, oppure ripeterlo quante volte vogliamo. Spiego l'ultima affermazione con un esempio facile: dato il numero $0,3333333...$. possiamo dire che il suo periodo è 3, ma anche che è 33 oppure 333, eccetera.
Lo modifico lievemente in "trovare il numero in questione" (uno o più) e riporto quella che mi sembra la soluzione più bella, avvisando che non è mia. Io avevo ne avevo però trovata un'altra, del tutto accessibile a livello di secondaria; a livello universitario ce ne sono altre ancora.
Sia $a$ il numero da trovare e sia $q$ la sua ultima cifra, quella che spostiamo; sia $b$ il numero doppio. Indichiamo con $x,y$ i numeri periodici che iniziano con $0,$ seguiti periodicamente da $a$ e da $b$ rispettivamente. Se moltiplichiamo $y$ per 10, le cifre dopo la virgola daranno proprio $x$, mentre prima della virgola ci sarà $q$, quindi
$10y=q+x$
Ma, essendo $b=2a$, si ha $y=2x$; mettendo a sistema si ottiene $x=q/19$.
Dando a $q$ un qualsiasi valore da 1 a 9, $a$ è il periodo di questa divisione (se $q=1$, la prima cifra di $a$ è zero: volendo, si può scartare questo caso): possiamo prenderlo una sola volta, oppure ripeterlo quante volte vogliamo. Spiego l'ultima affermazione con un esempio facile: dato il numero $0,3333333...$. possiamo dire che il suo periodo è 3, ma anche che è 33 oppure 333, eccetera.
ciromario: la mia prof. direbbe: U.C.C.S. per chi sa cosa voglia dire... però, se la dimostrazione fosse tua, complimenti lo stesso 
giammaria: potresti fare un esempio pratico del ragionamento? Ad esempio, se ponessi $a=3$ e $b=6$, $0,6666... * 10 = 6,666...$ in cui le cifre dopo la virgola sono $!= $ da $x=3$...
giammaria: potresti fare un esempio pratico del ragionamento? Ad esempio, se ponessi $a=3$ e $b=6$, $0,6666... * 10 = 6,666...$ in cui le cifre dopo la virgola sono $!= $ da $x=3$...
"Luca":
la mia prof. direbbe: U.C.C.S. per chi sa cosa voglia dire...
Io non lo so, mi spieghi?
"gio73":
Io non lo so, mi spieghi?
Ufficio complicazioni cose semplici
@gio73. E' analoga al mio CCCS=Come Complicare Cose Semplici.
@ Luca. Lasciamo stare il fatto che i due numeri debbano essere uno doppio dell'altro e limitiamoci allo spostamento della cifra: allora se $a=713$ (quindi $q=3$) si ha $b=371$. In questo caso
$x=0,713713713713....$ e $y=0,371371371371...$
Quindi
$10y=3,713713713713...=3+0,713713713713....=q+x$
@ Luca. Lasciamo stare il fatto che i due numeri debbano essere uno doppio dell'altro e limitiamoci allo spostamento della cifra: allora se $a=713$ (quindi $q=3$) si ha $b=371$. In questo caso
$x=0,713713713713....$ e $y=0,371371371371...$
Quindi
$10y=3,713713713713...=3+0,713713713713....=q+x$
Lancio un'altra sfida (semplice ma originale):
dimostrare che, in una città con più di $250000$ abitanti esitono almeno due persone che hanno lo stesso numero di capelli in testa, supponendo che la superficie del cuoio capelluto sia circa $60000 mm^2$ e che la densità dei capelli sia circa $4$ al millimetro quadrato.
dimostrare che, in una città con più di $250000$ abitanti esitono almeno due persone che hanno lo stesso numero di capelli in testa, supponendo che la superficie del cuoio capelluto sia circa $60000 mm^2$ e che la densità dei capelli sia circa $4$ al millimetro quadrato.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo