Fiocco di neve di Koch
Ieri abbiamo partecipato ad un laboratorio del matefitness di Genova e tra le altre cose è stato fatto costruire (fino ad un certo punto) il fiocco di neve del titolo, eccolo. L'animatrice diceva ai ragazzi che andando avanti il perimetro aumenta sempre e diventa infinito.
Proviamo a dimostrarlo?
Proviamo a dimostrarlo?
Risposte
Ciao Gio.
LA curva di Von Koch è un bell'esempio di frattale. Qui trovi tutto, anche l'espressione del perimetro, che essendo dato da una successione di potenze con esponente $n$ di $4/3$ , che è maggiore di $1$, diverge, cioè tende a $infty$ :
http://mathworld.wolfram.com/KochSnowflake.html
LA curva è auto-simile. Ad ogni passo, togli il $1/3$ centrale, ci metti su i due lati di un triangolo equilatero, ciascuno uguale a $1/3$ del precedente, e così da $1$ segmento ne ottieni $4$, tutti uguali a $1/3$ dl precedente.
Quindi moltiplichi la lunghezza precedente per $4/3$, perciò la lunghezza aumenta sempre e tende ad infinito. Se chiami $N$ il "numero di pezzi" in cui dividi ogni segmento, si può definire una "dimensione frattale" $D$ tale che il "rapporto di similitudine" $r$ è dato da :
$r = N^(1/D)$
e quindi, passando ai logaritmi :
$D = (log N)/(log r) = (log4)/(log3) = 1.2618595…$
Cioè, la curva di Von Koch non ha dimensione $1$, come una linea o una successione di segmenti. La "dimensione frattale" è maggiore di $1$. LA tangente in ogni punto cambia continuamente direzione, ammesso che di tangente si possa parlare!
Pur essendo quindi il perimetro tendente ad infinito, l'area racchiusa dal fiocco di neve è evidentemente finita : basta disegnare un cerchio che lo contiene.
Sui frattali, c'è una vasta letteratura. Per esempio :
http://mathworld.wolfram.com/Fractal.html
Non è mica facile….!
LA curva di Von Koch è un bell'esempio di frattale. Qui trovi tutto, anche l'espressione del perimetro, che essendo dato da una successione di potenze con esponente $n$ di $4/3$ , che è maggiore di $1$, diverge, cioè tende a $infty$ :
http://mathworld.wolfram.com/KochSnowflake.html
LA curva è auto-simile. Ad ogni passo, togli il $1/3$ centrale, ci metti su i due lati di un triangolo equilatero, ciascuno uguale a $1/3$ del precedente, e così da $1$ segmento ne ottieni $4$, tutti uguali a $1/3$ dl precedente.
Quindi moltiplichi la lunghezza precedente per $4/3$, perciò la lunghezza aumenta sempre e tende ad infinito. Se chiami $N$ il "numero di pezzi" in cui dividi ogni segmento, si può definire una "dimensione frattale" $D$ tale che il "rapporto di similitudine" $r$ è dato da :
$r = N^(1/D)$
e quindi, passando ai logaritmi :
$D = (log N)/(log r) = (log4)/(log3) = 1.2618595…$
Cioè, la curva di Von Koch non ha dimensione $1$, come una linea o una successione di segmenti. La "dimensione frattale" è maggiore di $1$. LA tangente in ogni punto cambia continuamente direzione, ammesso che di tangente si possa parlare!
Pur essendo quindi il perimetro tendente ad infinito, l'area racchiusa dal fiocco di neve è evidentemente finita : basta disegnare un cerchio che lo contiene.
Sui frattali, c'è una vasta letteratura. Per esempio :
http://mathworld.wolfram.com/Fractal.html
Non è mica facile….!
Ciao Navigatore,
grazie della risposta. Anche io ero riuscita ad arrivare a una espressione del genere
$2p=3l(4/3)^n$
e anche io ho concluso che poiché la base della potenza era un numero maggiore di 1 l'espressione che ci fa ottenere il perimetro tende ad infinito quando l'esponente $n$ tende ad infinito.
Riguardo l'area ho fatto il seguente ragionamento
ottenendo $A=l^2*5/7sqrt3$
che però è sbagliato. Dovrebbe essere
$A=4/5sqrt3l^2$
grazie della risposta. Anche io ero riuscita ad arrivare a una espressione del genere
$2p=3l(4/3)^n$
e anche io ho concluso che poiché la base della potenza era un numero maggiore di 1 l'espressione che ci fa ottenere il perimetro tende ad infinito quando l'esponente $n$ tende ad infinito.
Riguardo l'area ho fatto il seguente ragionamento
ottenendo $A=l^2*5/7sqrt3$
che però è sbagliato. Dovrebbe essere
$A=4/5sqrt3l^2$
Nel link che ho messo, c'è anche il calcolo dell'area.
Detta $\Delta$ l'area del triangolo equilatero iniziale, l'area finale risulta uguale a :
$A_(infty) = 8/5*\Delta$
Nel passare da livello 1 a livello 2, devi aggiungere 12 triangolini di lato $1/3*1/3$….
Però…..piccola svista….:
$A_0 = 1/2*l*sqrt3/2*l= sqrt3/4*l^2$
Detta $\Delta$ l'area del triangolo equilatero iniziale, l'area finale risulta uguale a :
$A_(infty) = 8/5*\Delta$
Nel passare da livello 1 a livello 2, devi aggiungere 12 triangolini di lato $1/3*1/3$….
Però…..piccola svista….:
$A_0 = 1/2*l*sqrt3/2*l= sqrt3/4*l^2$