[EX] Un problema calcistico

[gugo82]

Per risolvere questo esercizio serve soltanto conoscere un po' di Calcolo Differenziale e trigonometria.
Quindi potrebbe essere utile da proporre alle quinte per la preparazione all'esame di stato.

***

Esercizio:

1. Durante un fulmineo contropiede, un attaccante si invola indisturbato verso la porta avversaria, correndo perpendicolarmente alla linea di fondo e mantenendo una distanza \(d\) dal palo a lui più vicino (cfr. figura seguente).
[asvg]xmin=-1; xmax=9;
noaxes();
stroke="green"; fill="green"; path([[-2,-6],[-2,6],[10,6],[10,-6],[-2,-6]]);
stroke="white"; strokewidth=3; path([[0,2],[0,5],[-0.3,5],[-0.3,2],[0,2]]);
strokewidth=2; line([0,2],[0,-6]); line([0,5],[0,6]); path([[0,-1],[3,-1],[3,8],[0,8]]);
line([0,-5],[7,-5]); line([7,-5],[7,12]);
dot([5,3.5]);
strokewidth=2; stroke="cyan"; marker="arrow"; line([9,-3],[6,-3]);
dot([9,-3]);[/asvg]
Trovare il punto \(P\) sulla retta percorsa dal giocatore dal quale è più conveniente tirare in porta, supponendo che in tale punto sia massima l'ampiezza dell'angolo sotto il quale il giocatore vede la porta (cioé, l'angolo in \(P\) del triangolo avente vertici in \(P\) e nei due pali della porta \(A\) e \(B\), cfr. figura seguente).
[asvg]xmin=-1; xmax=9;
noaxes();
stroke="green"; fill="green"; path([[-2,-6],[-2,6],[10,6],[10,-6],[-2,-6]]);
stroke="white"; strokewidth=3; path([[0,2],[0,5],[-0.3,5],[-0.3,2],[0,2]]);
strokewidth=2; line([0,2],[0,-6]); line([0,5],[0,6]); path([[0,-1],[3,-1],[3,8],[0,8]]);
line([0,-5],[7,-5]); line([7,-5],[7,12]);
dot([5,3.5]);
strokewidth=1; stroke="grey"; line([-2,-3],[10,-3]);
strokewidth=2; stroke="orange"; fill="yellow"; path([[0,2],[9,-3],[0,5],[0,2]]);
fill="none"; stroke="cyan"; dot([9,-3]);
text([0,2],"A",belowleft); text([0,5],"B",aboveleft); text([9,-3],"P",belowright);[/asvg]

Suggerimenti:

Si introduca un sistema di assi cartesiani ortogonali, con l'asse delle ordinate coincidente con la linea di fondo e l'asse delle ascisse coincidente con la retta percorsa dal giocatore.
In tale sistema di coordinate, i vertici del triangolo da considerare sono \(A=(0,d)\), \(B=(0,l+d)\) e \(P=(x,0)\) in cui \(l>0\) è la lunghezza della porta (cioé la lunghezza del segmento \(AB\) che, da regolamento, è pari a \(7.32 \text{ m}\)).
L'angolo \(\alpha:=\widehat{APB}\) ha ampiezza uguale alla differenza delle ampiezze degli angoli \(\widehat{OPB}\) ed \(\widehat{OPA}\), le quali possono essere determinate con semplici considerazioni trigonometriche in funzione di \(x\), \(l\) e \(d\).
Si usi il Calcolo Differenziale per studiare e massimizzare la funzione \(\alpha (x)\).

2. Determinare il valore massimo \(\alpha_{\max}\) dell'angolo sotto il quale il giocatore vede la porta. Riconoscere che tale valore è una funzione della sola variabile \(d\) e tracciare il grafico della funzione \(\alpha_{\max}(d)\).

3. Studiare cosa accade alla funzione \(\alpha_{\max}(d)\) per valori di \(d\) corrispondenti alla situazione reale immaginata in 1.
In particolare, la funzione \(\alpha_{\max} (d)\) assume massimi/minimi per i valori di \(d\) considerati?
Fornire un'interpretazione dei risultati.

Suggerimenti:

Nella situazione dipinta nel primo disegno, l'attaccante si può muovere su rette che giacciono nella striscia di campo compresa tra la linea del fallo laterale più vicina al palo \(A\) e la linea del dischetto del rigore; infatti, se si muovesse sopra la linea del dischetto basterebbe "simmetrizzare" le considerazioni fatte sopra per risolvere i punti 1 & 2 per trovare gli stessi risultati (mentre, se l'attaccante si muovesse sotto la linea laterale, il pallone non sarebbe in gioco d il problema non avrebbe alcun senso).
Quindi basta controllare cosa accade per \(d\) appartenente all'intervallo di estremi \(-\frac{l}{2}=-3.66\) e \(L=29.84\), in cui \(L\) è la distanza della linea laterale dal palo (che, da regolamento, è un valore compreso tra \(28.34\text{ m}\) e \(31.34 \text{ m}\), quindi si è presa una media).

[xXStephXx]

Almeno per il primo punto c'è anche un metodo che non passa per la trigonometria

La circonferenza passante per $A$ e $B$ e tangente alla retta nel punto $P$

[gugo82]

@ xXStephXx: Ci posterai la dimostrazione geometrica dopo che qualcuno avrà postato quella analitica, giusto?

[xXStephXx]

naaa troppo lungo da fare per intero

Il primo punto invece è una cosa che capita di frequente. Il fatto che quel punto $P$ coincide con l'angolo massimo è dovuto al fatto che tutti gli angoli alla circonferenza che cadono su $AB$ hanno la stessa ampiezza, mentre tutti gli angoli che cadono su $AB$ e hanno vertice fuori dalla circonferenza hanno ampiezza minore (e questo si prova facilmente con l'angolo esterno). Ora costruendo la circonferenza in quel modo, l'unico punto della retta che appartiene alla circonferenza è $P$, tutti gli altri punti della retta stanno fuori e di conseguenza generano angoli minori di quello ottenuto in $P$ che forma quindi l'angolo massimo.

[gugo82]

"gugo82":Esercizio:

1. Durante un fulmineo contropiede, un attaccante si invola indisturbato verso la porta avversaria, correndo perpendicolarmente alla linea di fondo e mantenendo una distanza \(d\) dal palo a lui più vicino (cfr. figura seguente).
[asvg]xmin=-1; xmax=9;
noaxes();
stroke="green"; fill="green"; path([[-2,-6],[-2,6],[10,6],[10,-6],[-2,-6]]);
stroke="white"; strokewidth=3; path([[0,2],[0,5],[-0.3,5],[-0.3,2],[0,2]]);
strokewidth=2; line([0,2],[0,-6]); line([0,5],[0,6]); path([[0,-1],[3,-1],[3,8],[0,8]]);
line([0,-5],[7,-5]); line([7,-5],[7,12]);
dot([5,3.5]);
strokewidth=2; stroke="cyan"; marker="arrow"; line([9,-3],[6,-3]);
dot([9,-3]);[/asvg]
Trovare il punto \(P\) sulla retta percorsa dal giocatore dal quale è più conveniente tirare in porta, supponendo che in tale punto sia massima l'ampiezza dell'angolo sotto il quale il giocatore vede la porta (cioé, l'angolo in \(P\) del triangolo avente vertici in \(P\) e nei due pali della porta \(A\) e \(B\), cfr. figura seguente).
[asvg]xmin=-1; xmax=9;
noaxes();
stroke="green"; fill="green"; path([[-2,-6],[-2,6],[10,6],[10,-6],[-2,-6]]);
stroke="white"; strokewidth=3; path([[0,2],[0,5],[-0.3,5],[-0.3,2],[0,2]]);
strokewidth=2; line([0,2],[0,-6]); line([0,5],[0,6]); path([[0,-1],[3,-1],[3,8],[0,8]]);
line([0,-5],[7,-5]); line([7,-5],[7,12]);
dot([5,3.5]);
strokewidth=1; stroke="grey"; line([-2,-3],[10,-3]);
strokewidth=2; stroke="orange"; fill="yellow"; path([[0,2],[9,-3],[0,5],[0,2]]);
fill="none"; stroke="cyan"; dot([9,-3]);
text([0,2],"A",belowleft); text([0,5],"B",aboveleft); text([9,-3],"P",belowright);[/asvg]

Suggerimenti:

Si introduca un sistema di assi cartesiani ortogonali, con l'asse delle ordinate coincidente con la linea di fondo e l'asse delle ascisse coincidente con la retta percorsa dal giocatore.
In tale sistema di coordinate, i vertici del triangolo da considerare sono \(A=(0,d)\), \(B=(0,l+d)\) e \(P=(x,0)\) in cui \(l>0\) è la lunghezza della porta (cioé la lunghezza del segmento \(AB\) che, da regolamento, è pari a \(7.32 \text{ m}\)).
L'angolo \(\alpha:=\widehat{APB}\) ha ampiezza uguale alla differenza delle ampiezze degli angoli \(\widehat{OPB}\) ed \(\widehat{OPA}\), le quali possono essere determinate con semplici considerazioni trigonometriche in funzione di \(x\), \(l\) e \(d\).
Si usi il Calcolo Differenziale per studiare e massimizzare la funzione \(\alpha (x)\).

Seguendo il suggerimento, possiamo fare il seguente disegno:
[asvg]xmin=-1; xmax=9;ymin=0; ymax=10;
axes();
strokewidth=1; stroke="grey"; line([-2,0],[10,0]);
strokewidth=2; stroke="orange"; line([9,0],[0,8]);
stroke="red"; line([9,0],[0,5]);
fill="none"; stroke="cyan"; dot([9,0]);
text([0,5],"A",belowleft); text([0,8],"B",aboveleft); text([9,0],"P",belowright); text([0,0],"O",belowleft); text([0,2.5],"d",left); text([0,6.5],"l",left); text([4.5,0],"x",below);[/asvg]
Si ha:
\[
\begin{split}
\alpha &=\widehat{APB} \\
&= \widehat{OPB} - \widehat{OPA}\; ;
\end{split}
\]
detti \(m_{AP}\) ed \(m_{BP}\) i coefficienti angolari delle rette su cui giacciono i segmenti \(AP\) e \(BP\), per noti fatti di Geometria Analitica risulta:
\[
\begin{split}
\widehat{OPA} &= \pi - \arctan m_{AP}\\
&= \pi - \arctan \frac{-d}{x}\\
&= \pi + \arctan \frac{d}{x}\\
\widehat{OPB} &= \pi - \arctan m_{BP}\\
&= \pi - \arctan \frac{-(l+d)}{x}\\
&= \pi + \arctan \frac{l+d}{x}
\end{split}
\]
dunque:
\[
\alpha = \arctan \frac{l+d}{x} - \arctan \frac{d}{x}\; .
\]

Consideriamo, allora, la funzione:
\[
\alpha (x) = \arctan \frac{l+d}{x} - \arctan \frac{d}{x}
\]
e vediamo dove essa prende il valore massimo. Innanzitutto, notiamo che tale funzione è da considerare definita per \(0 Dato che \(l+d>d\), si ha \(\frac{l+d}{x}>\frac{d}{x}\) e dunque, per la stretta crescenza della funzione arcotangente, si ha anche \(\arctan \frac{l+d}{x}> \arctan \frac{d}{x}\); ciò implica:
\[
\alpha (x) = \arctan \frac{l+d}{x} - \arctan \frac{d}{x} >0
\]
quindi la funzione \(\alpha (x)\) è positiva in \(]0,\Lambda ]\).
Per quanto riguarda il comportamento ai limiti del dominio, abbiamo:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to 0^+} \alpha (x) &= \lim_{x\to 0^+} \arctan \frac{l+d}{x} - \arctan \frac{d}{x} \\
&= \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} \\
&=0
\end{split}
\]
mentre in \(L\) la funzione è continua (come detto sopra) ed assume il valore \(\alpha (\Lambda )= \arctan \frac{l+d}{\Lambda} - \arctan \frac{d}{\Lambda}\).
Derivando, troviamo:
\[
\begin{split}
\alpha^\prime (x) &= \frac{1}{1+\left( \frac{l+d}{x}\right)^2}\ \left( -\frac{l+d}{x^2}\right) - \frac{1}{1+\left( \frac{d}{x}\right)^2}\ \left( -\frac{d}{x^2}\right)\\
&= \frac{d}{x^2+d^2} - \frac{l+d}{x^2+(l+d)^2}\\
&= \frac{d(x^2+ (l+d)^2) - (l+d)(x^2+d^2)}{(x^2+d^2)\ (x^2+(l+d)^2)}\\
&= \frac{d(l+d)l- l x^2}{(x^2+d^2)\ (x^2+(l+d)^2)}\\
&= \frac{l}{(x^2+d^2)\ (x^2+(l+d)^2)}\ \big( d(l+d)-x^2\big)
\end{split}
\]
sicché \(\alpha^\prime (x)\geq 0\) se e solo se \(d(l+d)-x^2\geq 0\), ossia se \(0
Da quanto appena detto segue imemdiatamente che il punto \(P\) nel quale l'angolo sotto cui il giocatore vede la porta è massimo se l'ascissa \(x\) di \(P\) è uguale proprio ad \(x_{\max} =\sqrt{d(l+d)}\).

"gugo82":2. Determinare il valore massimo \(\alpha_{\max}\) dell'angolo sotto il quale il giocatore vede la porta. Riconoscere che tale valore è una funzione della sola variabile \(d\) e tracciare il grafico della funzione \(\alpha_{\max}(d)\).

Il valore massimo preso dalla funzione \(\alpha (x)\), per quanto detto prima, è:
\[
\begin{split}
\alpha_{\max} &= \alpha (x_{\max})\\
&= \arctan \frac{l+d}{\sqrt{d(l+d)}} - \arctan \frac{d}{\sqrt{d(l+d)}}\\
&= \arctan \sqrt{\frac{l+d}{d}} - \arctan \sqrt{\frac{d}{l+d}}\\
&= \arctan \frac{1}{\sqrt{\frac{d}{l+d}}} - \arctan \sqrt{\frac{d}{l+d}}\; .
\end{split}
\]
Da questa relazione già possiamo dedurre che \(\alpha_{\max}\) è una funzione della sola \(d\), cioé possiamo scrivere \(\alpha_{\max} =\alpha_{\max} (d)\).

Tuttavia, vogliamo semplificare un po' l'espressione trovata per rendere più semplici i calcoli che seguono. Dalla Trigognometria Elementare segue che:
\[
\arctan \frac{1}{t} = \frac{\pi}{2} - \arctan t
\]
e ponendo \(t=\sqrt{\frac{d}{l+d}}\) in questa uguaglianza troviamo:
\[
\arctan \frac{1}{\sqrt{\frac{d}{l+d}}} = \frac{\pi}{2} - \arctan \sqrt{\frac{d}{l+d}}
\]
cosicché:
\[
\alpha_{\max} (d) = \frac{\pi}{2} - 2\arctan \sqrt{\frac{d}{l+d}}\; .
\]

[giammaria2]

Nel nostro problema tutti gli angoli in esame sono compresi nell'intervallo $(-pi/2,pi/2)$ e quindi semplificherei il lavoro con la formula
$arctanb-arctanc=arctan frac (b-c)(1+bc)$
poco nota ma di facile dimostrazione e con la quale si ottiene
$alpha=arctan frac(lx)(x^2+d(l+d))$

Dissento dal testo quando dice

Determinare il valore massimo $alpha_(max)$ dell'angolo sotto il quale il giocatore vede la porta. Riconoscere che tale valore è una funzione della sola variabile d

perché basta un'occhiata alla soluzione per vedere che c'è anche $l$

[gugo82]

"giammaria":Nel nostro problema tutti gli angoli in esame sono compresi nell'intervallo $(-pi/2,pi/2)$ e quindi semplificherei il lavoro con la formula
$arctanb-arctanc=arctan frac (b-c)(1+bc)$
poco nota ma di facile dimostrazione e con la quale si ottiene
$alpha=arctan frac(lx)(x^2+d(l+d))$

Ok.
La relazione usata sopra, pur se meno generale, è intuitivamente più evidente.

"giammaria":Dissento dal testo quando dice

Determinare il valore massimo $alpha_(max)$ dell'angolo sotto il quale il giocatore vede la porta. Riconoscere che tale valore è una funzione della sola variabile d

perché basta un'occhiata alla soluzione per vedere che c'è anche $l$

Forse non hai molta dimestichezza col campo da gioco... Infetti, mentre le dimensioni del campo hanno un certo grado di variabilità (pur essendo sempre comprese tra limiti precisi[nota]Infatti, per i campi internazionali, le misure sono obbligatoriamente tra \(100\) e \(110\text{ m}\) di lunghezza, e tra i \(64\) e i \(75\) di larghezza.[/nota]), la lunghezza \(l\) delle porte non varia mai ed è sempre uguale a \(7.32\text{ m}\).

[giammaria2]

Verissimo, non ho dimestichezza col campo da gioco del calcio; però qui siamo in matematica, e sono considerate come variabili tutte le lettere (bé, quasi tutte: escludiamo $pi,e$ e qualche altra). Bastava dire "Riconoscere che tale valore è una funzione della variabile d", togliendo la parola "sola"; per eccesso di zelo si poteva aggiungere la precisazione che $l$ è una costante.

[gugo82]

"giammaria":Verissimo, non ho dimestichezza col campo da gioco del calcio; però qui siamo in matematica, e sono considerate come variabili tutte le lettere (bé, quasi tutte: escludiamo $pi,e$ e qualche altra). Bastava dire "Riconoscere che tale valore è una funzione della variabile d", togliendo la parola "sola"; per eccesso di zelo si poteva aggiungere la precisazione che $l$ è una costante.

Una costante, a quanto ricordo, può essere denotata con qualunque cosa, quindi anche con una lettera: basta che l'uso venga chiarito nel contesto... Cosa che avevo fatto poco prima del punto 2, come puoi leggere nello spoiler della citazione qui sotto:

"gugo82":Suggerimenti:

Si introduca un sistema di assi cartesiani ortogonali, con l'asse delle ordinate coincidente con la linea di fondo e l'asse delle ascisse coincidente con la retta percorsa dal giocatore.
In tale sistema di coordinate, i vertici del triangolo da considerare sono \(A=(0,d)\), \(B=(0,l+d)\) e \(P=(x,0)\) in cui \(l>0\) è la lunghezza della porta (cioé la lunghezza del segmento \(AB\) che, da regolamento, è pari a \(7.32 \text{ m}\)).
L'angolo \(\alpha:=\widehat{APB}\) ha ampiezza uguale alla differenza delle ampiezze degli angoli \(\widehat{OPB}\) ed \(\widehat{OPA}\), le quali possono essere determinate con semplici considerazioni trigonometriche in funzione di \(x\), \(l\) e \(d\).
Si usi il Calcolo Differenziale per studiare e massimizzare la funzione \(\alpha (x)\).

2. Determinare il valore massimo \(\alpha_{\max}\) dell'angolo sotto il quale il giocatore vede la porta. Riconoscere che tale valore è una funzione della sola variabile \(d\) e tracciare il grafico della funzione \(\alpha_{\max}(d)\).

[giammaria2]

Vogliamo chiudere qui il discorso? Mi sembra veramente una cosa troppo insignificante per fare polemiche ed avevo anche pensato di non rispondere; l'ho poi fatto perché mi sembrava più cortese.

[gugo82]

"giammaria":Vogliamo chiudere qui il discorso? Mi sembra veramente una cosa troppo insignificante per fare polemiche ed avevo anche pensato di non rispondere; l'ho poi fatto perché mi sembrava più cortese.

Ma certo, figurati... Io non l'avrei mai aperto.