Esistenza di una funziona esplicita.
Sia $NNxxNN={(m,n):m,n\inNN}$
Esiste una funzione $f:NNxxNN->NN$ che sia biunivoca e possa essere espressa in forma esplicita?
Esiste una funzione $f:NNxxNN->NN$ che sia biunivoca e possa essere espressa in forma esplicita?
Risposte
Bella idea la tua, il mio procedimento è diverso dal tuo anche se simile a tratti, ma non so rappresentarlo.
Alternativa molto più elegante (convenendo che $0\in\NN$): $f(x,y)=2^x(2y+1)$.
"PZf":
Alternativa molto più elegante (convenendo che $0\in\NN$): $f(x,y)=2^x(2y+1)$.
Si, ci avevo pensato anche io molto dopo il post, però se $0inNN,f(x,y)=2^x(2y+1)-1$.
Adesso però mi è venuto in mente di creare una funzione esplicita da $ZZxxZZ\toZZ$
La funzione da $NNxxNN\toNN$ che avevo ideato era questa:
$f(m,n)={(m^2+ntext{ se m è pari e m≥n}),(m(m+2)-ntext{ se m è dispari e m≥n}),(n(n+2)-mtext{ se n è pari e m≤n}),(n^2+mtext{ se n è dispari e m≤n}):}$
"UmbertoM":
[quote="PZf"]Alternativa molto più elegante (convenendo che $0\in\NN$): $f(x,y)=2^x(2y+1)$.
Si, ci avevo pensato anche io molto dopo il post, però se $0inNN,f(x,y)=2^x(2y+1)-1$.
[/quote]
Hai ragione! Grazie per la correzione.
"UmbertoM":
Adesso però mi è venuto in mente di creare una funzione esplicita da $ZZxxZZ\toZZ$
Per costruire una biiezione da $\ZZ\times\ZZ$ a $\ZZ$ basta disporre di una biiezione $h$ da $\ZZ$ a $\NN$.
Infatti la funzione $H(x,y)=(h(x),h(y))$ risulterebbe una biiezione da $\ZZ\times\ZZ$ a $\NN\times\NN$ e quindi la funzione $F(x,y)=(h^{-1}\circ\ f\ \circ\ H)(x,y)$ sarebbe una biiezione da $\ZZ\times\ZZ$ a $\ZZ$.
Dato che la biiezione $f$ da $\NN\times\NN$ a $\NN$ è ormai nota, il problema è ricondotto alla ricerca di questa funzione $h$.
La sua inversa potrebbe essere questa ($0\in\NN$): $h^{-1}(y)=y/2$ se $y$ è pari, $h^{-1}(y)=-(y+1)/2$ se $y$ è dispari.
Si deduce che la $h(x)$ è definita così: $h(x)=2x$ se $x>=0$, $h(x)=-(2x+1)$ se $x<0$.
"UmbertoM":
La funzione da $NNxxNN\toNN$ che avevo ideato era questa:
$f(m,n)={(m^2+ntext{ se m è pari e m≥n}),(m(m+2)-ntext{ se m è dispari e m≥n}),(n(n+2)-mtext{ se n è pari e m≤n}),(n^2+mtext{ se n è dispari e m≤n}):}$
Mi viene difficile ragionarci su senza conoscere le idee che ti hanno portato alla scrittura di questa formula.
Comunque ragionandoci un po' mi sembra che funzioni, anche se non ne ho scritto una dimostrazione.