Esercizio su derivate?

[RuCoLa1]

La Scuola Sant’Anna ha deciso di partecipare al campionato di Formula Uno con una vettura, e si sta preparando per il prossimo gran premio che si svolgerà sul circuito di Montecarlo (comune della provincia di Lucca). I suoi ingegneri hanno a disposizione i seguenti dati:
-la gara consiste in 120 giri di pista;
-la capacità del serbatoio della vettura permette, se necessario, di completare la gara senza alcun pit-stop.
-Per un pit-stop si impiegano 30 secondi in totale,
compresi i tempi di rallentamento ed accelerazione,
indipendentemente dalla quantità di carburante immessa;
-per ogni giro si consumano, indipendentemente da ogni
altro parametro, 3 kg di carburante;
-il tempo di percorrenza di un giro aumenta di 3
centesimi di secondo per ogni kg di carburante in più
presente nel serbatoio all’inizio del giro stesso;
Determinare la strategia (cioè il numero dei pit-stop da
effettuare ed i giri nei quali effettuarli) per permettere
di terminare la gara nel minor tempo possibile.

(soluzione mia)
Per completare la gara necessito di $120*3$ kg di carburante: supponiamo di partire con 360 kg di carburante...allora il tempo bonus impiegato per ogni giro è dato da $360*0.03sec + 357*0.03 + 354*0.03 + ..... + 3*0.03$. Raccogliendo 0.03 ottengo $0.03*(\sum_{k=1}^(360/3) 3k ) $ = $ 0.03 * [360/3 * (3 + 3+3*(120-1))/2]$
Io ho pensato di impostare l'equazione $T$ il tempo in eccesso impiegato in funzione del numero di pit-stop $n$ durante i quali immetto ogni volta la stessa quantità di carburante :
$T = n {[360/(3n) * (6 + (360/(3n) - 1)*3)/2]*0.03 + 30("secondi per ogni pit-stop")} $ con $n>=1$
Derivando la funzione trovo il minimo, ma poichè $n in NN$ ,arrotondo all'intero più vicino, cioè 5.
Secondo voi è corretto?
Se no, sapreste darmi la soluzione?

[kobeilprofeta]

Premessa: ti faccio notare che nel tuo problema non si considera il degrado gomme ed altri aspetti importanti (credo che sia stato fatto per semplificare il tutto).
Comunque, risolviamo con i dati del problema.

Chiamo $x$ il numero di soste da effettuare.

Vediamo quanto dura un giro, avendo a bordo k kili di carburante:
$B+k*3/100$, dove B è il tempo ideale di un giro senza carburante a bordo.

Se mi fermo $x$ volte, divido la gara in $x+1$ "stint" (parti), ciascuno lungo $frac{120}{x+1}$ giri.

NB: sto supponendo che le soste conviene equidistribuirle (se non e sei convinto, te lo dimostro).

Per calcolare il tempo di gara con $x$ soste, basta calcolare il tempo di uno stint (lungo $frac{120}{x+1}$ giri) e poi moltiplicarlo per $x+1$ (cioè per il unmero di stint). Infine bisognerà aggiungere il tempo necessario per fare le $x$ soste.
La durata di unop stint è:
$\sum_{k=1}^{frac{120}{x+1}} (B+k*3/100)$
Il tempo per fare $x$ soste è $30*x$.

Il tempo totale di gara è allora $30x+(x+1)*[\sum_{k=1}^{frac{120}{x+1}} (B+k*3/100)]$

La sua derivata è $30-frac{216}{(x+1)^2}$.

Che si annulla per $x=frac{6}{sqrt(5)}-1=1.68...$

Ciao, spero di essere stato utile.

PS: se ti interessa un minimo questo genere di argomento, vale a dire strategia per gare automobilistiche; scrivimi in privato che ti dico qualcosa in più.