Esercizio equazione esponenziale.

[StellaMartensitica]

Sia $m$ un intero positivo. Dimostrare che la soluzione dell'equazione $10^x=m$ o è intera o è irrazionale.
Qualcuno sa risolverlo?

[Erasmus_First]

"SirDanielFortesque":Sia $m$ un intero positivo. Dimostrare che la soluzione dell'equazione $10^x=m$ o è intera o è irrazionale.

Il titolo ... mi pare un tantino fuorviante. [Mi aspettavo qualcosa di più impegnativo].
a) $10^x = m$ ⇔ $x = Log_10(m)$.
b) Se m è una potenza di 10, allora x è l'esponente di questa potenza (è cioè intero).
c) Se m non è una potenza di 10 allora x no è intero. Mostriamo che se x non è intero allora non può essere razionale.
Supponiamo infatti (per assurdo) che $x$ sia razionale, cioè che sia x = p/q con p e q interi maggiori di 1 e q NON divisore di p.
Allora sarebbe anche $10^p = m^q$, Ossia: $m^q$ sarebbe pure una potenza di 10. Ma ciò è impossibile se non è già m una potenza di 10.

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