Esercizio di Analisi Matematica

[.Ruben.17]

Dimostrare che esiste un numero reale il cui quadrato è 2

Attenzione: non è per niente banale
Bonus: farlo senza usare il teorema degli zeri

[consec]

Riporto una soluzione, che fa però uso del teorema degli zeri.

Si vuole dimostrare che esiste una $x$ reale tale che $x^2=2$, ossia che verifica l'equazione $x^2-2=0$
Consideriamo la funzione $f(x)=x^2-2$. Il suo grafico è una parabola di vertice $V(0;-2)$.
Poiché $f(0)<0$ e $\lim_{x to \+infty}f(x) = +infty>0$, per il teorema di esistenza degli zeri esiste almeno un punto nell'intervallo $[0; +infty[$ in cui la funzione si annulla (uno per l'esattezza, essendo in quest'intervallo la funzione monotona crescente). Tale punto è il numero cercato.
Ovviamente il discorso è valido anche nell'intervallo $]-infty;0[$ in virtù della parità della funzione.

[Vincent46]

Do una soluzione valida se consideriamo la costruzione assiomatica di $\mathbb{R}$ (o almeno credo). Cioé, possiamo supporre valga l'assioma di completezza di $\mathbb{R}$. Allora si considera l'insieme di tutti i numeri reali il cui quadrato è minore di $2$. Questo insieme è superiormente limitato e non vuoto, quindi ha estremo superiore $s$. Si dimostra che $s$ è il numero cercato.

Per assurdo sia $s^2 < 2$. Allora esiste un $\epsilon$ positivo tale che $s^2 + \epsilon < 2$. Perciò basta prendere un $\mu$ positivo tale che $\mu^2+2s\mu < \epsilon$ per ottenere che $(s+\mu)^2 < s^2 + \epsilon < 2$, cioè $s$ non è estremo superiore dell'insieme introdotto all'inizio, che è assurdo.

Per assurdo sia $s^2 > 2$. Allora esiste un $\epsilon$ positivo tale che $s^2 - \epsilon > 2$. Allora, se considero $\mu$ positivo tale che $\mu < s - sqrt(s^2-\epsilon)$, ottengo che $(s-\mu)^2 > (s-\epsilon)^2 > 2$, che è pure assurdo per definizione dell'estremo superiore.

Allora è $s^2=2$.

[.Ruben.17]

Vanno bene entrambe
Qualcuno vuole provare a dare una soluzione con le successioni di Cauchy?

[@melia]

Cauchy non rientra nel programma della secondaria di secondo grado, in quest'area del forum sarebbe un po' fuori luogo, invece le altre due dimostrazioni possono essere comprese da qualche studente di una quinta scientifico.
Comunque se volete inserire la dimostrazione per completezza, non ho niente da obiettare.

[Erasmus_First]

Già i "pitagorici" avevano mostrato che la radice quadrta di 2 non è razionale.
Occhio: i "pitagorici" ragionavano sempre geometricamente.
Dunque, quello che per noi è "la radice quadrata di 2 è irrazionale" per essi era "il lato e la diagonale dello stesso quadrato non sono commensurabili".
Proviamo a ragionare anche noi geometricamante ... alla Euclide!
In un piano sia AC un segmento lungo 2 [in una certa unità di misura u]. Sia M il suo punto medio. Sia p la perpendicolare ad AC per M. Su p siano B e D i due punti distanti 1 da M [nella stessa unità di misura u]. Allora i quattro triangoli AMB, BMC, CMD e DMA sono tutti triangoli uguli, rettangoli ed isosceli; e l'area di ciascuno è 1/2 [nell'unità di misura di aree $u^2$]. Perciò il quadrangolo ABCD è un quadrato di area 4·(1/2) = 2. I suoi lati uguali AB, BC, CD e DA ... avranno pure una lunghezza! Questa lunghezza è $√(2)$ per definizione, dato che è la lunghezza del lato di un quadrato di area 2.
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Rivediamo la dimostrazione dei "pitagorici" che il lato e la diagonale dello stesso quadrato non sono commensurabili (ossia, con parole moderne, che la radice quadrata di 2 è irrazionale).
Siano $l$ e $d$ le lunghezze rispettivamente del lato e della diagonale dello stesso quadrato . Ossia:
$d^2 = 2l^2$ ⇒ $d = sqrt2·l$.
Supponiamo [per assurdo] che $d$ ed $l$ siano commensurabili.
In questa ipotesi sia s la massima lunghezza dei segmenti contenuti un numero intero di volte sia in $l$ che in $d$.
Supponiamo dunque che sia
$s = l/m = d/n$
con n ed m entrambi interi.
E' facile mostrare che con tali ipotesi si cade in contraddizione.
Con tali ipotesi m ed n non possono essere entrambi pari se no $s$ non sarebbe il massimo sottomultiplo comune di $l$ e $d$ perché sarebbe loro sottomultiplo comune anche $2s$.
In tali ipotesi avremmo dunque:
$m^2·s^2 = l^2$ ∧ $n^2·s^2 =d^2$ ∧ $d^2 = 2l^2$ ⇒ $n^2 = 2m^2$. (*)
Siccome $2m^2$ è pari, $n^2$ deve essere pure pari.
Ma allora deve essere pari anche $n$ perché il quadrato di un dispari è sempre dispari. Sia dunque:
$n = 2k$, (con k intero) (**)
Abbiamo allora dalla (*):
$4k^2 = 2m^2$ ⇔ $2k^2 = m^2$.
Siccome $2k^2$ è pari, deve essere pari anche $m^2$, e quindi essere pari anche $m$. Sia dunque:
$m = 2h$. (***)
Le (**) e (***) ci dicono che $m$ ed $n$ sono entrambi pari, ossia contraddicono la precedente assunzione che $m$ ed $n$ non sono entrambi pari!
Vuol dire che NON non può esistere un segmento contenuto un numeroi intero di volte sia nel lato $l$ che nella diagonale $d$ dello stesso quadrato.
In altre parole: «Non esistono due interi $n$ ed $m$ tali che sia $n/m = sqrt2$».

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