Esercizio di ammissione scuola galileiana
Buongiorno a tutti 
, volevo chiedervi un aiutino per un esercizio in cui mi ritrovo fermo. Il testo è il seguente:
Quanti sono i numeri interi n tali che: $ n/7 * (n/7+1) * (n/7 + 2) * (n/7 + 3) * ... * (n/7 + 7)<0 $
(a) 24;
(b) 28;
(c) 42;
(d) infiniti valori di n;
Risposta giusta A
Io ho provato a scegliere un esempio dello stesso tipo e per esempio ho considerato
$ n * (n+1) * (n+2) = n^3+3n^2+2n $
Da ciò ho ipotizzato che lo schema dovesse essere lo stesso e perciò ho riscritto la prima come
$ (n/7)^8 + 8 (n/7)^7+ 7(n/7)^6 + 6 (n/7)^5 + 5(n/7)^4 + 4(n/7)^3 + 3(n/7)^2 + 2(n/7)< 0 $
tuttavia non so se questa è una strada che porta alla soluzione dato che mi trovo bloccato a questo punto
Grazie mille se vorrete aiutarmi.
P.S. Mi sono appena iscritto al forum anche se vi seguo da un bel po'. Comunque se ho sbagliato qualcosa nel postare o nell'aprire un nuovo argomento ditemi pure che provvederò a risolvere.
, volevo chiedervi un aiutino per un esercizio in cui mi ritrovo fermo. Il testo è il seguente:Quanti sono i numeri interi n tali che: $ n/7 * (n/7+1) * (n/7 + 2) * (n/7 + 3) * ... * (n/7 + 7)<0 $
(a) 24;
(b) 28;
(c) 42;
(d) infiniti valori di n;
Risposta giusta A
Io ho provato a scegliere un esempio dello stesso tipo e per esempio ho considerato
$ n * (n+1) * (n+2) = n^3+3n^2+2n $
Da ciò ho ipotizzato che lo schema dovesse essere lo stesso e perciò ho riscritto la prima come
$ (n/7)^8 + 8 (n/7)^7+ 7(n/7)^6 + 6 (n/7)^5 + 5(n/7)^4 + 4(n/7)^3 + 3(n/7)^2 + 2(n/7)< 0 $
tuttavia non so se questa è una strada che porta alla soluzione dato che mi trovo bloccato a questo punto
Grazie mille se vorrete aiutarmi.
P.S. Mi sono appena iscritto al forum anche se vi seguo da un bel po'. Comunque se ho sbagliato qualcosa nel postare o nell'aprire un nuovo argomento ditemi pure che provvederò a risolvere.
Risposte
Cordialmente, Alex
Grazie mille per l'aiuto, adesso ho capito. Pensavo servissero competenze più tecniche e invece bastava ragionare . In particolare la prima soluzione mi è piaciuta molto perché meno meccanica ma anche la seconda era buona dato che portava alla soluzione. 
. In particolare la prima soluzione mi è piaciuta molto perché meno meccanica ma anche la seconda era buona dato che portava alla soluzione.
Scusate se invio un secondo post consecutivo ma non trovavo quello precedente per poter aggiungere EDIT 
. In ogni caso volevo sottoporre alla vostra attenzione altri 2 di questi problemi che mi stanno facendo dannare (chissà se riuscirò a risolverne qualcuno in più con più allenamento).
Il primo è questo:
Giacomo ha due modellini in scala del David di Donatello. Il primo ha superficie
30 e volume 21 mentre il secondo ha volume 7. Quanto vale la superficie del secondo modellino?
(a) $ radice terza di 3000 $ (non trovavo il simboletto );
(b) 10;
(c) 21/10 ;
(d) 30√3;
Risposta giusta A
Allora si nota subito che la soluzione b) è stata posta come tranello perché sarebbe la soluzione della proporzione lineare $ 30:21=10:7 $ e sicuramente non è giusta perché la superficie non dipende linearmente dal volume. Tuttavia essendo un solido irregolare non saprei come comportarmi. Ho pensato che tra le tre rimanenti sarebbe stata la più plausibile proprio perché non sarebbe né eccessivamente grande come $ 30*sqrt(3) $ né troppo piccola come 2,1 (che non avrebbe assolutamente senso essendo più piccola del volume) ma probabilmente senza risultato non so se sarei giunto a questa conclusione.
Il secondo quesito che volevo proporvi è questo:
Sia x ∈ R. Si consideri l’equazione:
$ (x + 1)^3 = x^3 + (x − 1)^3 $
Quale delle seguenti affermazioni `e vera:
(a) l’equazione ha soluzioni in Q;
(b) l’equazione non ha soluzioni in R;
(c) l’equazione non ha soluzioni in Z ma ha soluzioni in Q;
(d) l’equazione non ha soluzioni in Q ma ha soluzioni in R.
Risposta giusta D
Allora sicuramente la b) è errata perché essendo f(x) la funzione trovata sviluppando e portando tutto ad un membro continua in R e comunque $ lim(x->-infty) f(x) = -infty $ e $ lim (x->+infty)f(x)= +infty $ per il teorema dei valori intermedi essa ha almeno una soluzione reale. Ora ho provato a imporre $ x = p/q $ e vedere se manipolandolo sarei giunto ad un assurdo ma non sono riuscito a trovarlo.
Grazie per la collaborazione
. In ogni caso volevo sottoporre alla vostra attenzione altri 2 di questi problemi che mi stanno facendo dannare (chissà se riuscirò a risolverne qualcuno in più con più allenamento).Il primo è questo:
Giacomo ha due modellini in scala del David di Donatello. Il primo ha superficie
30 e volume 21 mentre il secondo ha volume 7. Quanto vale la superficie del secondo modellino?
(a) $ radice terza di 3000 $ (non trovavo il simboletto
);(b) 10;
(c) 21/10 ;
(d) 30√3;
Risposta giusta A
Allora si nota subito che la soluzione b) è stata posta come tranello perché sarebbe la soluzione della proporzione lineare $ 30:21=10:7 $ e sicuramente non è giusta perché la superficie non dipende linearmente dal volume. Tuttavia essendo un solido irregolare non saprei come comportarmi. Ho pensato che tra le tre rimanenti sarebbe stata la più plausibile proprio perché non sarebbe né eccessivamente grande come $ 30*sqrt(3) $ né troppo piccola come 2,1 (che non avrebbe assolutamente senso essendo più piccola del volume) ma probabilmente senza risultato non so se sarei giunto a questa conclusione.
Il secondo quesito che volevo proporvi è questo:
Sia x ∈ R. Si consideri l’equazione:
$ (x + 1)^3 = x^3 + (x − 1)^3 $
Quale delle seguenti affermazioni `e vera:
(a) l’equazione ha soluzioni in Q;
(b) l’equazione non ha soluzioni in R;
(c) l’equazione non ha soluzioni in Z ma ha soluzioni in Q;
(d) l’equazione non ha soluzioni in Q ma ha soluzioni in R.
Risposta giusta D
Allora sicuramente la b) è errata perché essendo f(x) la funzione trovata sviluppando e portando tutto ad un membro continua in R e comunque $ lim(x->-infty) f(x) = -infty $ e $ lim (x->+infty)f(x)= +infty $ per il teorema dei valori intermedi essa ha almeno una soluzione reale. Ora ho provato a imporre $ x = p/q $ e vedere se manipolandolo sarei giunto ad un assurdo ma non sono riuscito a trovarlo.
Grazie per la collaborazione
Questi due sono più facili, riesco a darti una mano anch'io.
1. Se la figura è in scala, anche se di forma irregolare, vale sempre il rapporto $sqrtS/root(3)(V)=k$ dove $k$ è una costante.
2. Se l'equazione ammette soluzioni razionali, queste si possono trovare con Ruffini e sono del tipo "un divisore del termine noto fratto un divisore del coefficiente del termine di grado massimo", qui Ruffini non è verificato.
$ (x + 1)^3 = x^3 + (x − 1)^3 $
Il ragionamento per le eventuali soluzioni reali lo hai già fatto correttamente.
1. Se la figura è in scala, anche se di forma irregolare, vale sempre il rapporto $sqrtS/root(3)(V)=k$ dove $k$ è una costante.
2. Se l'equazione ammette soluzioni razionali, queste si possono trovare con Ruffini e sono del tipo "un divisore del termine noto fratto un divisore del coefficiente del termine di grado massimo", qui Ruffini non è verificato.
$ (x + 1)^3 = x^3 + (x − 1)^3 $
Il ragionamento per le eventuali soluzioni reali lo hai già fatto correttamente.
Oh grazie mille, la prima formula non l'avevo mai incontrata. Ho imparato qualcosa 
. Forse la seconda l'avevo vista al biennio ma non me la ricordavo 
.
. Forse la seconda l'avevo vista al biennio ma non me la ricordavo .
"@melia":
1. Se la figura è in scala, anche se di forma irregolare, vale sempre il rapporto $sqrtS/root(3)(V)=k$ dove $k$ è una costante.
Interessante, non mi era mai capitato di soffermarmi su questo argomento!
In pratica hai impostato il rapporto affinché la costante di proporzionalità risultasse adimensionale, giusto?
Per esempio equivalentemente si sarebbe potuto scrivere:
$S/V^(2/3)=k$
Ha "linearizzato" 
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