Esercizio da test CISIA

[BullDummy]

Salve a tutti. Esercitandomi per il test CISIA mi è capitata la seguente domanda.

"Una scatola contiene 10 cubi. Ogni faccia di ciascun cubo è colorata di verde oppure di bianco oppure di rosso. In totale, 6 cubi hanno almeno una faccia verde, 7 hanno almeno una faccia bianca e 9 hanno almeno una faccia rossa; inoltre, nessuno dei 10 cubi ha tutte le facce dello stesso colore. Quanti cubi nella scatola hanno facce di tutti e tre i colori?"

Le possibili risposte sono: 8, 1, 9, 2, nessuno

Da un mio ragionamento mi sentirei di dire che ci deve essere almeno un cubo con facce di tutti e tre i colori, ma oltre non riesco ad andare. Mi potete aiutare? Grazie

[axpgn]

Otto o nove cubi tricolori non possono esserci perché abbiamo solo sei cubi verdi.
Ipotizziamo allora che ce ne siano due; questo riduce il problema di due unità: 8 cubi (tutti bicolori) con 7 facce rosse, 5 bianche e 4 verdi.
Proviamo con 5 biancorossi (il massimo possibile); non ci sono abbastanza verdi per i rossi rimanenti.
Scendiamo a 4 biancorossi: abbiniamo i tre rossi rimanenti a tre verdi, rimane uno bianco+verde per un totale di otto cubi.
Ok, allora la risposta è $2$ tricolori

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Il mio ragionamento è così semplice che penso sia sbagliato; ottengo però lo stesso risultato di axpgn.

Ci sono 4 cubi senza il verde, 3 senza il bianco e 1 senza il rosso; poiché nessun cubo è monocolore, in tutto ci sono 8 cubi bicolori. I rimanenti 2 cubi hanno quindi tutti i tre colori.

[@melia]

Io, invece, sono partita da nessun cubo monocolore,

l'ho risolto come i problemi del trifoglio in cui i sottoinsiemi monocolore sono vuoti, quindi $6+7+9=22$, se fossero tutti bicolore il totale sarebbe $10*2=20$, quindi i due colori che avanzano indicano che ci sono 2 cubi tricolore. La soluzione è analoga a quella di giammaria, che ha lavorato semplicemente sui complementari, ma sempre col problema del trifoglio.