Esercizio bocconi

[Thomas16]

ieri sera ho visto gli esercizi della finale ed ho provato a fare questo....

I tre numeri interi A,B e C (con 400 Quanto valgono A,B,C?

Alla fine mi sono ridotto a risolvere la diofantea $a^2=(b^2+c^2)/2$ ed a provare a mano le soluzioni per vedere quali stanno nell'intervallo ma non sono mai stato una cima in questi esercizi... mi sembra comunque lungo e sconveniente... voi come fareste?

[Thomas16]

scrivo più che altro per non lasciarti senza notizie Umby...

ehm.... ieri ho provato a scrivere la dimostrazione... partiva dal riscrivere l'equazione come $(a+c)(a-c)=(b+a)(b-a)$, ed effettuare il cambio di variabili $a+c=x$,$a-c=y$,$b+a=z$... da cui segue $b-a=z-x-y$... e discutera la nuova equazione cercando di evidenziare l'$mcd(z,y)$...

purtroppo avevo fatto un errore nella discussione ed avevo fatto bene solo il caso $mcd(z,y)=1$, dimenticandomi un fattore (fare le cose dopo mezzanotte espone a questi rischi) e non avevo trovato tutte le soluzioni ma solo alcune... forse riesco a metterla a posto ma al momento non ho tempo tra le mille cose.... mi sa che rimando all'estate questo problema!..

[Umby2]

Il file excel in allegato è semplice.
Basta inizializzare le due celle e con due numeri diversi, con A1 > A2

Puoi, ad esempio, provare con (2, 1)
Oppure con (3,1) o (3,2)
o ancora con (4,1) oppure (4,2) oppure (4,3) ... e cosi' via

Nella colonna F appariranno le soluzioni, tutte valide anche se molte con numeri negativi

Con i valori (8,1) e (5,4) vedrai le soluzioni discusse precedentemente.

3_Quadrati

[KURSAAL21]

E' stato risolto ?

[marmi1]

Ci ho lavorato per giorni, prima di trovare questa strada. Non so se sia
quella giusta né se nel tempo di un'olimpiade si riescono a fare tutti questi conti.
Spero tali conti siano giusti.

Siano $x$ $y$ $z$ I tre numeri cercati.
Pongo
$x=a-l$
$y=a$
$z=a+l$.
Vale
$2a-l = b^2$
$2a=c^2$
$2a+l=d^2$
per qualche $b$, $c$, $d$
$a$ deve essere pari , $l$ pure (essendo $2l=d^2-b^2$)
E quindi deve essere $l$ multiplo di $4$ (essendo $l=d^2-c^2$)
E infine deve essere multiplo di $8$ (essendo $2(l/4)=(d/2)^2-(b/2)^2$).
Ora pongo $b=c-e-f$ e $d=c+e-f$.
Da $d^2-c^2=c^2-b^2=l $ ricavo:
$c= (e^2+f^2)/(2f)$ ed essendo
$c$ pari
$e,f$ devono essere pari (poniamo $=2g, 2h$)
$c= (g^2+h^2)/h$
$b= (g^2+h^2)/h-2g-2h$
$d= (g^2+h^2)/h+2g-2h$
Se $h$ e` $=1$ o primo (e dalle formule seguenti, direi che sia 4 non e` pensabile)
Deve dividere $g$, sia $g=mh$
$c= (m^2+1)h$
$b= (m^2-2m-1)h$
$d= (m^2+2m-1)h$

E ancora
$x=d^2-e^2/2=(m^4/2-4m^3+m^2+4m-1/2)h^2$
$z=f^2-e^2/2=(m^4/2+4m^3+m^2-4m-1/2)h^2$
$m$ dovrà essere dispari.

Se $h=1$,
affinché $x>400$ deve essere $m>=9$
con $m=9$ viene $x=482$ $z=6242$
quindi $m$ non può essere maggiore, $z$ eccederebbe $7000$
Si vede che con $h=2$ non ci sono soluzioni. (serve ancora qualche conto).
Non ho controllato $h$ maggiori, ma mi pare non ci sia "spazio" tra $400$ e $7000$

Ciao,
Andrea

[marmi1]

Ho riguardato i conti (c'era qualche errore) e aggiustato la notazione.

Posto
$A=a-l$
$B=a$
$C=a+l$
Vale:
$2*a-l=D^2$
$2*a=E^2$
$2*a+l=F^2$
per qualche $ D,E,F$
$E $ e' pari.

Sia:
$D=E-b$
$F=E+c$
$D,F,b,c$ sono o tutti pari o tutti dispari
( in particolare sono pari, ma non serve nel prosieguo. Se aiuta non me ne sono accorto.)
Pongo:
$d=(b+c)/2$ , $e=(b-c)/2$
da cui
$b=d+e$ , $c=d-e$ e quidndi:
$D=E-d-e$
$F=E+d-e$, da cui

$l=D^2-E^2=F^2-D^2$
$E^2-(E^2+d^2+e^2-2Ed-2Ee+2de) = E^2+d^2+e^2+2Ed-2Ee-2de-E^2$
$2Ee+2Ee=2d^2+2e^2$
$E=(d^2+e^2)/(2e)$
essendo $E$ pari, $d$ ed $e$ sono pari:
$d=2f$ , $e=2g$ e
$E=(f^2+g^2)/g$
$D=E-2f-2g$
$F=E+2f-2g$, da cui

Valgono le seguenti :

$A=a-l=(2a-l) - a= D^2-E^2/2$
$C=a+l=(2a+l)-a=F^2-E^2/2$

$A=(((f^2+g^2)/g) -2f-2g)^2-(1/2)((f^2+g^2)/g)^2=$
$=1/2((f^2+g^2)/g)^2+4f^2+4g^2-4f((f^2+g^2)/g)-4g((f^2+g^2)/g)+8fg$

$C=(((f^2+g^2)/g) +2f-2g)^2-(1/2)((f^2+g^2)/g)^2=$
$=1/2((f^2+g^2)/g)^2+4f^2+4g^2+4f((f^2+g^2)/g)-4g((f^2+g^2)/g)-8fg$
sia $m=f/g$ non necessariamente intero

$A=g^2(1/2(m^4+1+2m^2)+4m^2+4-4m(m^2+1)-4(m^2+1)+8m)=$
$=g^2((m^4+1)/2+m^2-4m(m^2-1))$
$C=g^2(1/2(m^4+1+2m^2)+4m^2+4+4m(m^2+1)-4(m^2+1)-8m)=$
$=g^2((m^4+1)/2+m^2+4m(m^2-1))$
(e $B=g^2((m^4+1)/2+m^2)$)

$A=g^2((m/2-4)*m^3 +m^2 +4m+1/2)$
$C=g^2((m/2+4)*m^3 +m^2 -4m+1/2)$

se $m >=10, C>7000, AA g$
se $m=<7, A<0, AA g$ (credo escluso solo $m=1$, che porta a $A=B=C$)

Con $g=1$:
$m$ deve essere dispari. Quindi:
$m=9$, e $ A=482, C=6242$

Con $g=2$
penso che $C>7000$ sia per $m=9$, che per $ m=8$ (non ho controllato)

E così pure per $g>2$

Ciao,
Andrea