Equivalenza

[axpgn]

[size=200]$100_(10)=1000010100_?$[/size]


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

$? \approx 1.64848$

[axpgn]

No.

Si deve pensare fuori dagli schemi, non è la "solita base"
Come hint (importante ) posso dire che le cifre usate sono solo $0$ e $1$

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Lo sapevo che sotto c'era qualcosa di strano.

[giammaria2]

Una mia prima idea era bella ma non ha retto. Ripiego su un'altra che mi piace poco ma sta in piedi.

Preciso che userò il pedice solo per indicare in che base scrivo i numeri.
La prima idea era che con qualsiasi base $a$ si ha $sqrt(100_a)=10_a$; ho quindi cercato una base in cui $1000010100_a$ fosse un quadrato ma non l'ho trovata. Se c'è, è un numero alto.
Il ripiego è che il primo membro indichi la divisione fra un numero e la sua base, e per farla basta togliere lo zero finale; la risposta sarebbe quindi $100001010_a$. Nulla vieta che sia $a=10$.

[axpgn]

La risposta non è quella ma, perdonami, non mi è chiaro cosa intendi dire precisamente

$100_(10)$ significa nient'altro che l'usuale cento nell'usuale rappresentazione decimale, mentre l'altra "base" non è dieci, chiaramente; ripeto che le uniche cifre utilizzate sono $0$ e $1$ e che questo, a mio parere, è un indizio importante.

Comunque, questo sì che è pensare fuori dagli schemi, anche troppo


Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Ho l'impressione che il tuo computer ed il mio visualizzino in modo diverso il mio intervento.

Non ho usato scritte del tipo $100_10$, ma solo del tipo $100_a$, ed intendevo che $100_a=a^2$. In generale si ha $a!=10$ ma (ripeto la mia ultima frase) nulla vieta che sia $a=10$, rientrando nella normale numerazione.

[axpgn]

No, la parte che non avevo capito è questa:

"giammaria":Il ripiego è che il primo membro indichi la divisione fra un numero e la sua base, e per farla basta togliere lo zero finale; la risposta sarebbe quindi $100001010_a$. Nulla vieta che sia $a=10$.

Ma adesso, rileggendola, ho capito cosa intendevi
E no, non è così

Ribadisco che la scrittura $100_(10)$ è la normale rappresentazione decimale del numero cento, che in rappresentazione binaria diventa $1100100_2$ e in esadecimale $64_(16)$.
Quello che chiedo è il significato del punto di domanda nella scrittura[size=150] $ 1000010100_? $[/size] la quale equivale al numero cento

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Ma allora, se ti capisco bene, direi che non ci sono soluzioni.

"axpgn":Quello che chiedo è il significato del punto di domanda nella scrittura[size=150] $ 1000010100_? $[/size] la quale equivale al numero cento

Dando al punto interrogativo il valore più piccolo possibie, e cioè due, quella scritta significa $2^9+2^4+2^2$ ed è maggiore di cento. Peggio ancora con valori maggiori di due.

[axpgn]

Mi hai capito bene ma la soluzione c'è

Eccola (o quasi ... )

L'usuale notazione decimale è, in pratica, una scrittura abbreviata di un polinomio i cui coefficienti vanno da $0$ a $9$ e le variabili sono una successione di potenze crescenti dello stesso numero, determinate in modo univoco dalla loro posizione: col mio numero accade la stessa cosa, solamente che la successione è una successione ... e basta
Una successione ben precisa però

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Mi arrendo: la mia fantasia ha dei limiti e non riesco ad immaginare un sistema di numerazione che soddisfi a quanto voluto. O meglio, mi è venuta qualche idea, ma insoddisfacente.

[axpgn]

È la successione di Fibonacci

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Non sono d'accordo: secondo me, si rientra in quelle che ho definito come idee insoddisfacenti.

Un sistema di numerazione soddisfacente deve dare una corrispondenza biunivoca fra i numeri ed i loro simboli numerici, e con la successione di Fibonacci non è così. Non mi è ben chiaro cosa intendi parlando di quella successione, e quindi faccio due esempi, a seconda del possibile significato.
- se intendi la successione 1, 1, 2, 3, ..., allora il numero quattro può essere scritto in due modi: 1001 o 111;
- se invece intendi la 1, 2, 3, 5, ..., è il numero sei che può essere scritto in quei due modi.

[axpgn]

Risposta completa (prima era solo un'assaggio)

Ogni intero positivo può essere "scomposto" come somma di distinti numeri di Fibonacci; ne consegue che è possibile rappresentarlo come se fosse un numero e per fare ciò basta usare lo zero come segnaposto per quelli non usati e l'uno per quelli usati.
Affinché però la rappresentazione sia unica si deve aggiungere la condizione che non ci possano essere due cifre $1$ vicine (o, che è lo stesso, non ci possono essere nella stessa rappresentazione due distinti numeri di Fibonacci "vicini").
Viene anche detta "Zeckendorf representation" e aggiungo che Yaglom afferma che praticamente si può usare qualsiasi successione (anche se non mi sono chiari tutti gli aspetti di quest'affermazione )

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Sì, con questa aggiunta la risposta diventa accettabile; peccato che sappia un po' di rattoppo.

[axpgn]

Beh, no, è solo una definizione come un'altra che peraltro funziona benissimo e porta anche a sviluppi ulteriori (prova a cercare "Zeckendorf" ma non solo ...)

Volendo essere pignoli allora anche la rappresentazione decimale ha il suo rattoppo: $1=0.\bar(9)$; in realtà, è solo una definizione accettabile e funzionante


Cordialmente, Alex