Equilatero monocromatico

[zimmerusky]

Tutti i punti del piano sono colorati o di bianco o di nero. Dimostrare che esiste un triangolo equilatero che ha tutti i vertici dello stesso colore.

[axpgn]

Cordialmente, Alex

[hydro1]

Supponi non sia vero. Allora c'è un triangolo equilatero $ABC$ dove wlog $A,B$ sono neri e $C$ è bianco. Allora il punto $D$ simmetrico di $C$ rispetto ad $AB$ è anche lui bianco, altrimenti $ABD$ sarebbe monocromatico. Ora costruisci $A'$ lungo la retta $AB$ simmetrico di $A$ rispetto a $B$. Se fosse bianco, il triangolo $A'CD$ sarebbe monocromatico ed equilatero, quindi è nero. Sia $C'$ tale che $A'C'B$ sia equilatero e $C'$ giaccia sullo stesso semipiano di $C$ rispetto ad $AB$. Siccome $A'$ e $B$ sono neri, dev'essere bianco. Adesso prendi $B'$ simmetrico di $B$ rispetto a $C'C$: se è bianco, $C'B'C$ è monocromatico bianco, se è nero $A'B'A$ è monocromatico nero.

[axpgn]

Peraltro era già stato proposto ...



Cordialmente, Alex

[zimmerusky]

@hydro bella soluzione
@axpgn nella figura che hai disegnato ogni punto corrisponde ad una coordinata intera?

[axpgn]

No, perché? Non serve ... se non hai compreso il disegno, leggi il link che ho messo dove trovi la soluzione (già fatto tempo fa)

[Bokonon]

I punti del piano possono essere ordinati a piacere e rispetto a qualsiasi sistema di coordinate. Fissata una base formata da due versori divisi da un angolo di 60 gradi e posta l'origine bianca, allora i punti (2,0) e (0,2) sono bianchi. È sufficiente congiungerli...

[axpgn]

Perché?

Non c'è nessun vincolo sulla colorazione dei punti del piano, potrebbero essere tutti neri con l'eccezione dell'origine e quindi quello dici non può avvenire.
Mi pare un po' scarna come dimostrazione ... IMHO

Cordialmente, Alex