Equilatero

[axpgn]

Dato un triangolo qualsiasi, si costruisca esternamente, su ciascuno dei suoi lati, un triangolo isoscele avente l'angolo opposto alla base (ovvero il lato del triangolo originale) pari a $120°$.

Dimostrare che i tre nuovi vertici formano un triangolo equilatero.


Cordialmente, Alex

[qualcuno4]

Consideriamo un triangolo di vertici $A,B,C$, angoli corrispondenti $\alpha,\beta,\gamma$ e lati opposti corrispondenti $a,b,c$.
Sul lato $BC$ di lunghezza $a$ costruiamo il triangolo isoscele $BCP$ con angolo al vertice di $widehat{P}=120^{0}$. Risulta $\overline{PB}=\overline{PC}=\frac{a}{\sqrt{3}}$.
Sul lato $AC$ costruiamo il triangolo isocele $ACQ$ con angolo al vertice di $\widehat{Q}=120^{0}$,
Risulta $\overline{QC}=\overline{QA}=\frac{b}{\sqrt{3}}$.
Sul lato $AB$ costruiamo il triangolo isocele $ACR$ con angolo al vertice
di $\widehat{R}=120^{0}$, Risulta $\overline{RA}=\overline{RB}=\frac{c}{\sqrt{3}}$.
$$P\widehat{C}Q=360^{0}-60^{0}-\gamma=300-\gamma$$.
Applicando il teorema di Carnot :

$\overline{PQ^{2}}=\overline{PC}^{2}+\overline{CQ}^{2}-2\overline{PC}\overline{CQ}CosP\widehat{C}Q=\frac{a^{2}}{3}+\frac{b^{2}}{3}-\frac{2ab}{3}cos(300^{0}-\gamma)$
$=\frac{a^{2}}{3}+\frac{b^{2}}{3}-\frac{2ab}{3}cos(300^{0}-\gamma)$
$=\frac{a^{2}}{3}+\frac{b^{2}}{3}-\frac{2ab}{3}\left[\frac{1}{2}cos\gamma-\frac{\sqrt{3}}{2}sen\gamma\right]$$=\frac{a^{2}}{3}+\frac{b^{2}}{3}-\frac{abcos\gamma}{3}+\frac{ab\sqrt{3}sen\gamma}{3}$
$3PQ^{2}=a^{2}+b^{2}-abcos\gamma+\sqrt{3}ab sen\gamma$.
Applicando il teorema di Carnot al triangolo $ABC$: $cos\gamma=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

$3PQ^{2}=a^{2}+b^{2}-ab\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}+\sqrt{3}ab sen\gamma=a^{2}+b^{2}-\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2}+\sqrt{3}ab sen\gamma=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}+\sqrt{3}ab sen\gamma$
$PQ^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{6}+\frac{\sqrt{3}}{3}ab sen\gamma$

Analogamente:
$QR^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{6}+\frac{\sqrt{3}}{3}cb sen\alpha$
ma per il teorema dei seni : $asen\gamma=csen\alpha$
uindi $PQ=QR=RP$

[axpgn]

C'è un passaggio che non ho capito, questo ...

"qualcuno":$... =\frac{a^{2}}{3}+\frac{b^{2}}{3}-\frac{2bc}{3}cos(240^{0}-\gamma)$

Cordialmente, Alex

[qualcuno4]

@axpgn ho corretto.

[axpgn]

@qualcuno

Anche $bc$ è da correggere allora oppure no?

Cordialmente, Alex