Equazioni

[axpgn]

Trovare tutte le soluzioni reali del seguente sistema di equazioni:


[size=150]${((4x^2)/(1+4x^2)=y),((4y^2)/(1+4y^2)=z),((4z^2)/(1+4z^2)=x):}$[/size]



Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Intanto: $(0, 0, 0)$ .


E questa e' una ... !


Anzi, sembra che sia l'unica.

[axpgn]

No, non è l'unica

[Quinzio]

"axpgn":No, non è l'unica

$(0,0,0)$
$(1/2,1/2,1/2)$

Ce ne sono altre ? Non direi.

[axpgn]

No, non ce ne sono altre. Ma va dimostrato, è quello il bello

[Quinzio]

"axpgn":No, non ce ne sono altre. Ma va dimostrato, è quello il bello

Non l'avrei mai detto che "va dimostrato" .

Punti con $x<0$, $y<0$ o $z<0$ non sono possibili, siccome

$x<0 \implies y > 0 \implies z> 0 \implies x >0$

giungendo ad una contraddizione.

La prima implicazione viene dal fatto che $4x^2/(1+4x^2) > 0$ se $x \ne 0$.

(Oppure, piu' banalmente, da ogni equazione si deduce immediatamente che le coordinate non possono essere negative)

Quindi, considerando solo i punti a coordinate positive e a parte $(1/2, 1/2, 1/2)$ e' vero che

$x> 4x^2/(1+4x^2)$
siccome
$1> 4x/(1+4x^2)$
$4x^2-4x+1> 0$
$(2x-1)^2> 0$

Questo vale per le 3 coordinate:
$x> 4x^2/(1+4x^2)$
$y> 4y^2/(1+4y^2)$
$z> 4z^2/(1+4z^2)$

Quindi

$ {(x>(4x^2)/(1+4x^2)=y),(y>(4y^2)/(1+4y^2)=z),(z>(4z^2)/(1+4z^2)=x):} $

$ {(x>y),(y>z),(z>x):} $

Ovvero

$x>y>z>x$

giungendo ad un'altra contraddizione.

Quindi gli unici punti sono $(0,0,0)$ e $(1/2, 1/2, 1/2)$.

[axpgn]

[giammaria2]

Il concetto base della mia soluzione non differisce sostanzialmente da quello di Quinzio, ma la mia esposizione mi sembra più facile.

Se un'incognita si annulla, lo fanno anche le altre; quindi, a parte la soluzione (0,0,0), possiamo pensare che non si annullino. Questo permette di capovolgere le frazioni e la prima equazione diventa
$(1+4x^2)/(4x^2)=1/y$ cioè, sottraendovi $1/x$,
$1/(4x^2)+1-1/x=1/y-1/x->(1/(2x)-1)^2=1/y-1/x$
Poiché in campo reale il primo membro è non-negativo, se ne deduce $1/y>=1/x$. Dalle altre equazioni deduciamo $1/z>=1/y;" "1/x>=1/z$ e queste tre diseguaglianza possono coesistere solo se tutte le incognite sono uguali. La prima equazione diventa allora
$(1/(2x)-1)^2=0->1/(2x)=1->x=1/2$
Perciò l'unica altra soluzione è $(1/2,1/2,1/2)$

[axpgn]

Bella soluzione

[ingres]

Forse esiste un metodo ancora più semplice.

Si vede che interscambiando le variabili nei vari possibili modi si ottengono sempre le stesse equazioni, da cui si può concludere che x=y=z.
A questo punto basta risolvere la prima equazione con y=x per trovare le possibili soluzioni.

[axpgn]

... mmmm ... Non ne sono così sicuro ...
Premesso che a me sembra che giammaria più o meno faccia la stessa cosa, il fatto che le incognite siano intercambiali, a mio parere, implica solo che sono permutabili ma non che siano anche uguali ovvero anche banalmente ma andrebbe dimostrato ... IMHO

Cordialmente, Alex

[ingres]

Si, hai ragione. Sicuramente le soluzioni sono permutabili, come da teoria dei sistemi simmetrici, ma la stretta uguaglianza va dimostrata e a meno che non esista una qualche condizione (semplice) già disponibile e solo da verificare, la sua dimostrazione rende comunque questa strada simile a quella di gianmaria.

Infatti qui c'è un video che spiega come si può arrivare a dimostrare l'uguaglianza in un caso molto simile e con metodi simili a quelli di gianmaria.

https://www.youtube.com/watch?v=_jP6eB3Wax0

[axpgn]

Video molto chiaro