Equazione di nono grado
Salve a tutti,
Ultimamente mi è capitato di scervellarmi sulla risoluzione di un quesito dell'esame di ammissione in Normale che recita come segue:
Trovare le soluzioni reali dell'equazione : (x^3+1)^3=8(2x-1)
Sono arrivato, dopo una serie di passaggi (sostanzialmente ho sviluppato e scomposto usando la somma di una serie geometrica una volta che ho scoperto che x=1 era soluzione del polinomio e la somma di una serie geometrica di ragione r è a1(1-r alla n+1)/1-r
Dunque il polinomio a cui arrivo è P: x^9 -1 +3(x^6-1)+3(x^3-1)-16(x-1)=0
però provando numerose strade non riesco ad arrivare alla scomposizione che (ho controllato su un software) dà come soluzioni (-1±sqrt5)/2 e dunque la scomposizione contiene il polinomio x^2+x-1. Avreste dei consigli su come scomporre questo polinomio di nono grado?
Grazie in anticipo
Ultimamente mi è capitato di scervellarmi sulla risoluzione di un quesito dell'esame di ammissione in Normale che recita come segue:
Trovare le soluzioni reali dell'equazione : (x^3+1)^3=8(2x-1)
Sono arrivato, dopo una serie di passaggi (sostanzialmente ho sviluppato e scomposto usando la somma di una serie geometrica una volta che ho scoperto che x=1 era soluzione del polinomio e la somma di una serie geometrica di ragione r è a1(1-r alla n+1)/1-r
Dunque il polinomio a cui arrivo è P: x^9 -1 +3(x^6-1)+3(x^3-1)-16(x-1)=0
però provando numerose strade non riesco ad arrivare alla scomposizione che (ho controllato su un software) dà come soluzioni (-1±sqrt5)/2 e dunque la scomposizione contiene il polinomio x^2+x-1. Avreste dei consigli su come scomporre questo polinomio di nono grado?
Grazie in anticipo
Risposte
Che $1$ sia soluzione lo si vede subito, hai provato quindi a dividere il polinomio che ottieni ($x^9+3x^6+3x^3-16x+9$) per $x-1$?
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Se fai la divisione ottieni ...
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
ora finalmente è tutto chiaro, grazie mille
Aggiungo un altro metodo; il risultato non cambia.
Io avevo risolto l'equazione di sesto grado in una maniera più grezza
Cordialmente, Alex

Cordialmente, Alex