Equazione di nono grado

[edocaracal]

Salve a tutti,
Ultimamente mi è capitato di scervellarmi sulla risoluzione di un quesito dell'esame di ammissione in Normale che recita come segue:
Trovare le soluzioni reali dell'equazione : (x^3+1)^3=8(2x-1)

Sono arrivato, dopo una serie di passaggi (sostanzialmente ho sviluppato e scomposto usando la somma di una serie geometrica una volta che ho scoperto che x=1 era soluzione del polinomio e la somma di una serie geometrica di ragione r è a1(1-r alla n+1)/1-r

Dunque il polinomio a cui arrivo è P: x^9 -1 +3(x^6-1)+3(x^3-1)-16(x-1)=0
però provando numerose strade non riesco ad arrivare alla scomposizione che (ho controllato su un software) dà come soluzioni (-1±sqrt5)/2 e dunque la scomposizione contiene il polinomio x^2+x-1. Avreste dei consigli su come scomporre questo polinomio di nono grado?
Grazie in anticipo

[axpgn]

Che $1$ sia soluzione lo si vede subito, hai provato quindi a dividere il polinomio che ottieni ($x^9+3x^6+3x^3-16x+9$) per $x-1$?


Cordialmente, Alex

[axpgn]

Se fai la divisione ottieni ...

$x^8+x^7+x^6+4x^5+4x^4+4x^3+7x^2+7x-9$

Ora a me viene spontaneo raccogliere nei due modi seguenti:

$x^6(x^2+x+1)+4x^3(x^2+x+1)+7(x^2+x+1)-16$

$(x^2+x+1)(x^6+4x^3+7)-16$

$x^6(x^2+x-1)+4x^3(x^2+x-1)+7(x^2+x-1)+2x^6+8x^3-2$

$(x^2+x-1)(x^6+4x^3+7)+2x^6+8x^3-2$

Siccome però poi non riesco a proseguire ma le scomposizioni mi sembrano interessanti, faccio le divisioni e nel secondo caso ottengo:

$(x^2+x-1)(x^6+2x^4+2x^3+4x^2+2x+9)$

Ora rimane da stabilire quante soluzioni reali ha l'espressione di sesto grado (se ne ha) ...

Cordialmente, Alex

[hydro1]

"axpgn":

$(x^2+x-1)(x^6+2x^4+2x^3+4x^2+2x+9)$

Ora rimane da stabilire quante soluzioni reali ha l'espressione di sesto grado (se ne ha) ...

Il che è semplice: $x^6+4x^2$ è sempre non-negativa, mentre $2x^4+2x^3+2x+9$ è sempre positiva. Infatti la derivata è $8x^3+6x^2+2$ che si vede facilmente avere un solo zero reale in $-1$. Segue immediatamente che la funzione $2x^4+2x^3+2x+9$ ha un solo minimo in $-1$ e lì è positiva, quindi è sempre positiva.

[edocaracal]

ora finalmente è tutto chiaro, grazie mille

[giammaria2]

Aggiungo un altro metodo; il risultato non cambia.

L'equazione può essere scritta nella forma

$[(x^3-2x+1)+2x]^3-8(2x-1)=0$

$(x^3-2x+1)^3+6x(x^3-2x+1)^2+12x^2(x^3-2x+1)+8(x^3-2x+1)=0$

$(x^3-2x+1)[(x^3-2x+1)^2+6x(x^3-2x+1)+12x^2+8]=0$

L'annullarsi del primo fattore dà le soluzioni $x=1;x=(-1+-sqrt5)/2$.
A calcoli fatti, l'annullarsi della quadra dà

$x^6+2x^4+2x^3+4x^2+2x+9=0$

$(x^3+x+1)^2+3x^2+8=0$
che non ha soluzioni reali essendo una somma di quadrati.

[axpgn]

Io avevo risolto l'equazione di sesto grado in una maniera più grezza

Per $x>=0$, è sempre positiva, no solution.
Per $x<=$, le espressioni $2x^4+2x^3$ e $4x^2+2x$ sono negative solo nell'intervallo $-1 < x < 0$ ma valgono al massimo $2$, ben compensati dal $+9$
Quindi sempre positiva anche nel secondo caso, no solution.

Cordialmente, Alex