Equazione a piú variabili

[Adiperc]

Testo: "Trovate tutte le soluzioni intere dell'equazione: $ xy+x+y+2=0 $ "
Io ho fatto cosí:
$ { (xy=0 ),( x+y=-2 ):} rarr { ( x=0 \vv y=0),( y=-2\vvx=-2):} $

quindi le soluzioni intere sono:
$ (0,-2),(-2,0) $

Cosa ne pensate?

[anto_zoolander]

Che non capisco cosa ti porta a concludere che siano uniche

[Adiperc]

e la prima volta che mi approccio a questo tipo di problema, quindi non saprei dimostrare se queste siano le uniche radici o no (in realta non sono nemmeno se il procedimento che ho utilizzato possa essere corretto...)

[anto_zoolander]

Si sono le uniche ma va dimostrato..
Considera che tutte le soluzioni dell’equazioni, in generale, sono i punti del piano $(x,-(x+2)/(x+1)))$

nota che l’insieme ${(x,y) inRR^2|y inRR,x=-1}$ non contiene soluzioni

Devi solo richiedere che entrambe siano intere.

[Adiperc]

grazie.

[Erasmus_First]

"Adiperc":Trovate tutte le soluzioni intere dell'equazione: $ xy+x+y+2=0 $

a) Siccome l'equazione non cambia se si scambiano tra loro $x$ e $y$, se $x = a$ ∧ $y = b$ (con $a≠b$) è una soluzione, un'altra soluzione è $x = b$ ∧ $y = a$.
b) E' senz'altro $x≠-1$ ∧ $y≠-1$ dato che per $x = –1$ ∨ $y=-1$ viene $xy + x + y + 2 = -1 + 2 =-1$.
c) Esplicitando $x$ si trova $x = – (y+2)/(y+1) = –1 – 1/(y+1)$. Affinché $x$ sia intero occorre che sia intero $1/(y+1)$, e quindi $y$ può valere solo 0 o $–2$.
Ergo :
Per $x$ ed $y$ interi, $xy+x+y+2$ si annulla se e solo se ($x=0$ ∧ $y = -2$) ∨ ($x=-2$ ∧ $y = 0$).
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[giammaria2]

Aggiungo un'altra soluzione.
L'equazione data può essere scritta nella forma
$(x+1)(y+1)=-1$
e l'unico prodotto fra interi che dia $-1$ è $1*(-1)$, in qualsiasi ordine. Quindi le uniche possibilità sono
${(x+1=1),(y+1=-1):} vv {(x+1=-1),(y+1=1):}$
da cui ricavi le soluzioni indicate.

[Erasmus_First]

"giammaria":[...] L'equazione data può essere scritta nella forma $(x+1)(y+1)=-1$
e l'unico prodotto fra interi che dia $-1$ è $1*(-1)$, in qualsiasi ordine. Quindi [...]

Mi piace! Questo è senz'altro l'approccio più elegante!
[Giammaria, sei forte! Ciao ciao]
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