Equazione
Sia $(x,y)$ una soluzione, in interi, dell'equazione $x^2-2y^2= -1$.
Provare che $1^3+3^3+5^3+...+(2y-1)^3=x^2y^2$
Cordialmente, Alex
Provare che $1^3+3^3+5^3+...+(2y-1)^3=x^2y^2$
Cordialmente, Alex
Risposte
Ho trovato una risposta molto banale; non la scrivo perché forse c'è di meglio e soprattutto per lasciare il campo libero a chi vuole cimentarsi. Coraggio, non è difficile!
Non saprei invece risolvere in interi l'equazione $x^2-2y^2= -1$. Limitandomi ai valori positivi (i segni non hanno importanza), ho trovato per tentativi le soluzioni $(1,1)$ e $(7,5)$ ma forse ce ne sono anche altre.
Non saprei invece risolvere in interi l'equazione $x^2-2y^2= -1$. Limitandomi ai valori positivi (i segni non hanno importanza), ho trovato per tentativi le soluzioni $(1,1)$ e $(7,5)$ ma forse ce ne sono anche altre.
Credo che anche la mia sia piuttosto banale.
@ingres
@ ingres
Io dimostravo anche la formula in questione, dato che è poco conosciuta.
@dan95
Probabilmente non hai notato che ingres parlava proprio di numeri dispari.
Io dimostravo anche la formula in questione, dato che è poco conosciuta.
@dan95
Probabilmente non hai notato che ingres parlava proprio di numeri dispari.
@ingres @giammaria
Sorry, mio errore
Sorry, mio errore
"dan95":
@ingres @giammaria
Sorry, mio errore
Do not worry!
Beh, ma ha ragione dan95, scritta così è sbagliata 
Peraltro avrei preferito una soluzione come suggerito da giammaria cioè costruita dalle "fondamenta" piuttosto che "prefabbricata"
Eviterei comunque di linkare siti esterni "fastidiosi"
Cordialmente, Alex
Peraltro avrei preferito una soluzione come suggerito da giammaria cioè costruita dalle "fondamenta" piuttosto che "prefabbricata"
Eviterei comunque di linkare siti esterni "fastidiosi"
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Beh, ma ha ragione dan95, scritta così è sbagliata
No, perchè n è scritto essere solo dispari.
"axpgn":
Peraltro avrei preferito una soluzione come suggerito da giammaria cioè costruita dalle "fondamenta" piuttosto che "prefabbricata"
Eviterei comunque di linkare siti esterni "fastidiosi"
In effetti la formula l'avevo ricavata in altro modo, ma cercando per confermarla ho trovato il sito "fastidioso" ma comodo
Comunque era questo l'unico modo di risolvere o c'era qualche metodo meno banale?
Avevo letto la tua precisazione ma che c'entra?
A mio parere, una formula "ben fatta" deve essere "autosufficiente" altrimenti va bene per tutto.
Per esempio, quella che hai scritto va bene per la somma dei cubi di qualsiasi cosa: dispari, pari, multipli di tre, numeri congrui a uno modulo sette, ecc.
Per quanto riguarda il link, "fastidioso" è un eufemismo, un sito pieno di spam con un pop-up a tutta pagina più il trucchetto per l'autoiscrizione ("vuoi continuare con l'account Google?" e ti ritrovi iscritto alla newsletter
).
Io li eviterei siti del genere, IMHO.
Di modi per risolvere i problemi ce ne sono sempre vari quindi non penso sia l'unico , quello "banale" si proponeva (si fa per dire) di "trovare" una formula per la somma dei cubi dei dispari (che non è famosissima)
Cordialmente, Alex
A mio parere, una formula "ben fatta" deve essere "autosufficiente" altrimenti va bene per tutto.
Per esempio, quella che hai scritto va bene per la somma dei cubi di qualsiasi cosa: dispari, pari, multipli di tre, numeri congrui a uno modulo sette, ecc.
Per quanto riguarda il link, "fastidioso" è un eufemismo, un sito pieno di spam con un pop-up a tutta pagina più il trucchetto per l'autoiscrizione ("vuoi continuare con l'account Google?" e ti ritrovi iscritto alla newsletter
).Io li eviterei siti del genere, IMHO.
Di modi per risolvere i problemi ce ne sono sempre vari quindi non penso sia l'unico
, quello "banale" si proponeva (si fa per dire) di "trovare" una formula per la somma dei cubi dei dispari (che non è famosissima)Cordialmente, Alex
OK Alex. Riscritta la formula e inserita la dimostrazione senza ricorrere al sito 
Da notare che la formula di Faulhaber
https://it.wikipedia.org/wiki/Somma_di_ ... successivi
e un procedimento identico a quello seguito consente di trovare la somma delle potenze di interi successivi, pari successivi e dispari successivi per qualsivoglia potenza m.
Da notare che la formula di Faulhaber
https://it.wikipedia.org/wiki/Somma_di_ ... successivi
e un procedimento identico a quello seguito consente di trovare la somma delle potenze di interi successivi, pari successivi e dispari successivi per qualsivoglia potenza m.
Io avevo dimostrato la formula in modo ancor più terra-terra.
Resta il mio dubbio su quante e quali siano le soluzioni di $x^2-2y^2=-1$.
Resta il mio dubbio su quante e quali siano le soluzioni di $x^2-2y^2=-1$.
@giammaria: si chiamano "equazioni di Pell", se googli troverai una marea di materiale in proposito, anche elementare. In particolare, esiste un teorema fondamentale della teoria dei numeri che implica che esistono $x_0,y_0\in \mathbb Z$ tali che tutte e sole le soluzioni di $x^2-2y^2=-1$ sono della forma $x=x_n$ e $y=y_n$, dove $(x_0+y_0\sqrt{2})^{2n+1}=x_n+y_n\sqrt{2}$, al variare di $n\in \mathbb Z$. Penso (ma non ho voglia di controllare), che si abbia $x_0=y_0=1$. Per esempio, $(1+\sqrt{2})^3=7+5\sqrt{2}$, e in effetti $7^2-2\cdot 5^2=-1$.
@ hydro
Grazie mille. I numeri che indichi (per $n=0$ ed $n=1$) sono proprio quelli che avevo trovato per tentativi.
Grazie mille. I numeri che indichi (per $n=0$ ed $n=1$) sono proprio quelli che avevo trovato per tentativi.
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