Equazione

[axpgn]

Trovare tutte le radici reali dell'equazione $sqrt(x^2-p)+2sqrt(x^2-1)=x$ dove $p$ è un parametro reale.



Cordialmente, Alex

[axpgn]

[ot]Qualcuno sa spiegarmi perché i due simboli della radice sono diversi?
Almeno sul mio pc li vedo diversi, leggermente più alto il primo rispetto al secondo ...[/ot]


Cordialmente, Alex

[Mephlip]

[ot]Anche io li vedo diversi, penso sia così per tutti e ti espongo la mia congettura: sospetto che la prima radice sia estesa in alto perché, se ci fai caso confrontando gli argomenti della prima e della seconda radice, tracciando una retta orizzontale appena sotto le "gambe" del simbolo $x^2$ noterai che la coppia di simboli $x^2$ e $-1$ e la coppia di simboli $x^2$ e $p$ e il $-1$ non sono sulla stessa "linea orizzontale" perché la $p$ ha una "gamba" lunga mentre la parte inferiore del $-1$ è tipograficamente allo stesso livello orizzontale della parte inferiore di $x^2$; quindi , probabilmente, LaTeX allunga il simbolo di radice per compensare questo fatto che la gamba inferiore della $p$ straborderebbe sotto la punta inferiore del simbolo di radice. Perdona se è contorto, ma non avrei saputo dirlo altrimenti.

Il problema non l'ho ancora provato a risolvere, se mi viene in mente qualcosa rispondo sensatamente. [/ot]

[axpgn]

[ot]È sensato ciò che dici ma allora perché allungarla anche sopra?[/ot]

Cordialmente, Alex

[Mephlip]

[ot]Onestamente non saprei, forse lo fa in automatico perché è programmato in modo tale da estendere sia sopra che sotto e mai in un'unica direzione; il motivo forse è per mantenere una simmetria estetica, ma non saprei se è realmente così. [/ot]

[giammaria2]

Complimenti a Mephlip per il suo spirito di osservazione.
Quanto all'equazione, do la mia soluzione anche se forse ci sono metodi migliori.

Deve essere $x^2>=1; x^2>=p$ per le condizioni di esistenza; deve inoltre essere $x>=0$ perché i due membri abbiano lo stesso segno.
Con queste limitazioni, elevo al quadrato arrivando a
$4sqrt((x^2-p)(x^2-1))=p-4x^2+4$
I due membri devono avere lo stesso segno, quindi
$p-4x^2+4>=0->x^2<=(p+4)/4$
Affinché questa limitazione sia compatibile con le precedenti occorre che sia
${(1<=(p+4)/4->p>=0), (p<=(p+4)/4->p<=4/3):}$
Deve quindi essere $0<=p<=4/3$.
Tornando all'equazione, la elevo a quadrato e con facili passaggi ottengo
$x^2=(p-4)^2/(8(2-p))$
Nel verificare l'accettabilità di questa soluzione, trovo che le $x^2>=1; x^2>=p$ sono verificate per ogni $p$ e la $x^2<=(p+4)/4$ lo è per il già trovato $0<=p<=4/3$; è questo che mi fa pensare alla possibilità di metodi migliori.
Concludo estraendo la radice; ricordando la $x>=0$ ho
$x=|p-4|/sqrt(8(2-p))=(4-p)/(2sqrt(2p-4))$

[axpgn]

Sostanzialmente la mia è uguale.

Alle condizioni iniziali si può aggiungere subito $p>=0$, poi elevo al quadrato due volte e giungo a $x^2=(p-4)^2/(8(2-p))$, da cui noto che deve essere anche $p<2$ per cui l'unica soluzione è $x=(4-p)/sqrt(8(2-p))$.
Sostituendo questo valore nell'equazione ottengo $|3p-4|=-(3p-4)$ per cui l'equazione ha soluzioni solo per $0<=p<=4/3$

Cordialmente, Alex