Due esercizi del test di ammissione della normale

[Leonardo9P]

http://www.sns.it/sites/default/files/d ... 015-16.pdf

qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi i primi due esercizi? Sono argomenti che ho studiato ma non ho mai visto queste cose così

[Erasmus_First]

Confesso di non essere in grado di procedere nel 1° esercizio perché non capisco di preciso quel testo.
Mi pare di saper svolgere il 2°, cioè:
«Esercizio 2. Una stanza ha 4 pareti, il pavimento, il soffitto. Una mosca si muove tra queste 6 superfici:
se lascia il pavimento o il soffitto può con probabilità 1/5 finire su ciascuna delle 4 pareti o ritornare sulla superficie dalla quale è partita. Se lascia una delle pareti, può con probabilità 1/5 finire su ciascuna delle altre 3 pareti, sul soffitto o sul pavimento.
Se inizialmente la mosca è sul soffitto, quale è la probabilità che sia sul pavimento dopo k mosse?»
[Segue un suggerimento ... che non ho capito, ma mi pare di saper procedere lo stesso..
Considero il vettore di tre componenti
$V_n = [a_n, b_n, c_n]$
dove
• $a_n$ è la probabilità che la mosca sia sul soffitto dopo $n$ mosse ;
• $b_n$ è la probabilità che la mosca sia su una delle 4 pareti dopo $n$ mosse;
• $c_n$ è la probabilità che la mosca sia sul pavimento dopo $n$ mosse.
Le singole componenti sono funzione nel numero $n$ di mosse secondo una matrice di transizione $T$ [quadrata di formato 3 x 3] tale che (essendo $V_n$ scritto come vettore-riga):
$V_(n+1) = V_n · T$.
Esaminando il testo del problema, (e tenendo ben presente il significato dei simboli), possiamo calcolare gli elementi di T.
Abbiamo infatti:
$a_(n+1) = a_n·1/5 + b_n·1/5$;
$b_(n+1) = a_n·4/5+b_n·3/5+c_n·4/5$;
$c_(n+1) = b_n·1/5 + c_n·1/5$.
La nmatrice $T$ è dunque
$1/5, 4/5, 0/5$
$1/5, 3/5, 1/5$
$0/5, 4/5, 1/5$
Il vettore iniziale è
$V_0 = [1, 0, 0]$
e ocorre calcolare la terza componente $c_k$ sapendo che
$[a_k, b_k, c_k] = [1,0,0]·T^k$
Si noti che deve essere $a_n + b_n_+ c_n = 1$ per ogni $n$ naturale.
Che la somma $S_n$ delle componenti di $V_n$ valga 1 per ogni $n$ risulta vero [per induzione] perché
$S_0=1$
e se $S_h=1$ allora anche $S_(h+1)=1$
dato che, tramite la matrice di transizione $T$ risulta
$S_(h+1)=a_(h+1) + b_(h+1) + c_(h+1) = (1/5 + 4/5 + 0/5)·a_h + (1/5 + 3/5 +1/5)·b_h + (0/5+4/5 + 1/5)c_h =$
$= a_h +b_h + c_h$.
---------
Adesso si tratta di fare i conti senza conoscere il valore numerico di k.
Diagonalizzando la matrice T, ossia mettendola nella forma
$T = M^-1·S·M$
dove le righe di $M$ (matrtice modale) sono gli autovettori di $T$, $M^-1$ è la matrice 'inversa di $M$ ed $S$ (matrice spettrale) è la matrice diagonale i cui elementi sulla diagonale principale sono gli autovalori dei rispettivi autovettori, si trova per M la matrice
$1, 0, -1$
$1, -2, 1$
$1, 4, 1$
per S la matrice
$1/5, 0, 0$
$0, -1/5, 0$
$0, 0, 1$
e pe $M^-1$ la matrice
$1/2, 1/3, 1/6$
$0, -1/6, 1/6$
$-1/2, 1/3, 1/6$
Con ciò, essendo allora:
$V_k = [1, 0, 0]·M^-1·S^k·M$, SALVO ERRORI O OMISSIONI trovo:
$c_k = -[1/2 + (-1)^k/3]·1/5^k+ 1/6$.
Al crescere di k, la cercata probabilità tende ad 1/6.

P.S.
Errori ce ne sono perché per k = 0 dovrebbe risultare $c_0 = 0$ ed invece viene -.2/3.
AMEN!
Il metodo però funziona.
Riassumo.
• Si onsidera $V_n = [a_n, b_n, c_n]$ vettore distribuzione delle probabilità (sul soffitto, sulle pareti, sul pavimento).
• Dal testo i trova la matrice di transizione T da n ad (n+1) mosse.
• Diagonalizzare $T$ in $T = M^-1·S·M$ (dove$S$ è diagonale) in modo da avere $T^n = M^-1·S^n·M$.
• Calcolare la terza componente $c_k$ di $[1, 0, 0]}M^-1·S^k·M$

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[Leonardo9P]

Ok adesso devo studiare bene gli argomenti così capisco cosa dici, comunque cosa centra il vettore con la probabilità?

E grazie ovviamente!!

[Erasmus_First]

Sempre in riferimento all'Esercizio 2, ho rifatto i conti (con lo stesso procedimento della diagonalizzazione) ...e adesso i conti tornano!
Adesso la probabilità richiesta (che la mosca dopo k mosse sia sul pavimento, probabilità che con i miei simboli è $c_k$) mi viene:
$c_k = -1/2·1/5^k +(-1)^k·1/3·1/5^k + 1/6$.
Finito il conticino, ho anche scoperto (!!!) che potevo evitarmi la ricerca delle matrice $M$ degli autovettori di $T$ ed il calcolo della sua inversa $M^-1$. Infatti si può evitare il procedimento della diagonalizzazione completa della matrice di transizione e fermarsi ai suoi autovalori perché, se questi sono $α$, $β$ e $γ$, la probabilità richiesta è senz'altro del tipo:
$A·α^k + B· β^k + C· γ^k$ (*)
con A, B e C costanti opportune.
Basta allora conoscere la detta probabilità per tre valori distinti di k per poter calcolare le costanti A, B e C.
Ricordo che la matrice di transizione T nel nostro caso viene (usando i vettori-riìga invece dei vettori-colonna):

    |1/5, 4/5, 0/5|
T = !1/5, 3/5, 1/5|.
    |0/5, 4/5, 1/5|

e i suoi autovalori sono
1/5; -1/5; 1.

Sappiamo già che $V_0 = [1, 0, 0]$.
Con la matrice di transizione calcoliamo allora $V_1$ e $V_2$ e quindi potremo calcolare le costanti $A$, $B$ e $C$.

Abbiamo
$V_1 = [a_1, b_1, c_1] = [1, 0, 0]·T = [1/5, 4/5, 0/5]$;
$V_2 = [a_2, b_2, c_2] = [1/5, 4/5, 0/5]·T = [5/25, 16/25, 4/25]$.
In particolare:
$c_0 = 0$; $c_1 = 0$; $c_2 = 4/25$.
Applicando allora la (*) per k =0, k=1 e k = 2 abbiamo dunque:
$A·(1/5)^0 + B· (-1/5)^0 + C· 1^0 ≡ A + B + C = 0$;
$A·(1/5)^1 + B· (-1/5)^1 + C· 1^1 ≡ A/5 - B/5 + C = 0$;
$A·(1/5)^2 + B· (-1/5)^2 + C· 1^2 ≡ A/25 + B/25 + C = 4/25$;
Risolvendo questo sistemino lineare nelle incognite A, B e C si trova
$A = -1/2$; $B = 1/3$; $C = 1/6$
In definitiva, come già trovato con la diagonalizzazione, [osservando che 1^k = 1 per qualsiasi k], risulta
<Probabilità che la mosca, dopo k mosse, sia sul pavimento> = $c_k = -1/2·1/5^k +(-1)^k·1/3·1/5^k + 1/6$.

"LeonardoP9": .. cosa c'entra il vettore con la probabilità?

Che cos'è un vettore?
Dimentichiamo le sue applicazioni in Fisica ... e anche la sua rappresentazione geometrica!
Restando in algebra astratta, un vettore n-dimensionale è una n-pla ordinata di numeri, prescindendo dal significatio dei numeri stessi.
Qui abbiamo una terna di probabilità:
a) che la mosca sia sul soffitto;
b) che la mosca sia su una parete;
c) che la mosca sia sul pavimento.
La terna cambia ad ogni mossa della mosca.
Allora la terna di probabilità la trattiamo come un vettore tridimensionale ... che cambia linearmente perché abbiamo visto che le mosse della mosca con le quali cambia la terna di probabilità corrispondono ad una sostituzione lineare [di tre equazioni sulle tre probabilità alla mossa k-esima della mosca per avere le tre probabilità alla mossa (k+1)-esima).
IIl calcolo matriciale è idoneo allo studio di questo problemino.
Come detto, posto
$V_n = [a_n, b_n, c_n]$ la terna di probabilità all'n-esima mossa, la terna alla mossa (n+1)-esima è data da
$V_(n+1) = V_n · T$
Insomma: il calcolo matriciale – e un vettore è qui una matrice di formato 1 x 3 – non è altro che un simbolismo sul calcolo da fare che compatta il da farsi e ne migliora l'epressività.
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[superpippone]

Senza capire nulla di matematica, a me pareva lapalissiano che la probabilità fosse $1/6$.
O è sul soffitto, o è sul pavimento, o è su una delle 4 pareti.
Tutte con uguale probabilità.
Tranne nel caso in cui k=1, ed allora la probabilità è $1/5$
Ma forse sono troppo semplicista....

[Leonardo9P]

Questi argomenti li trovo in un qualsiasi libro di matematica di liceo ?

[Erasmus_First]

"LeonardoP9":Questi argomenti li trovo in un qualsiasi libro di matematica di liceo ?

Direi proprio di no!
O per lo meno: di tutto ciò non c'era niente sui libri delle "superiori" (licei o Ist. Tecnici) quando insegnavo matematica io; e nemmeno sui testi usati dai miei figli.
Ma son passati 21 anni da quando ho smesso; e 17 dalla maturità della mia figlia minore. Cosa ci sta adesso sui libri delle "superiori" non lo so.
Però io, quando insegnavo all'Ist. Tecnico Agrario (ossia ... prima dell'a.s.1981-82), siccome c'era espressamente libertà di scelta degli argomenti in merito al programma di matematica, insegnavo il calcolo matriciale molto dettagliatamente e anche un pochino di calcolo delle probabilità (con dettati ad hoc e con distribuzione di qualche dispensina).
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[Leonardo9P]

Che io sappia adesso si fa tutto un pò così dipende dai prof. Più che altro per sapere fino a che livello devo arrivare per passare al test di mate.

[Erasmus_First]

"superpippone":Senza capire nulla di matematica, a me pareva lapalissiano che la probabilità fosse $1/6$.
O è sul soffitto, o è sul pavimento, o è su una delle 4 pareti.
Tutte con uguale probabilità.

No. La probabilità di stare su una delle 6 facce (dell'esaedro "stanza") dipende dal numero di mosse della mosca (intendendo con "nunmero di mosse" il numero di volte che la mosca prende il volo da dove sta per posarsi da qualche parte). La probabilità tende a diventare la stessa per ognuna delle 6 facce dell'esaedro, [tende cioè ad 1/6], al crescere del numero k di mosse della mosca. Ossia: quel che dici tu va bene a lungo andare.

"superpippone":Tranne nel caso in cui k=1, ed allora la probabilità è $1/5$

Quale probabilità?
Non quella richiesta (che la mosca stia sul pavimento). Per k = 1, la probabilità che la mosca (partita dal soffitto) si sia posata sul pavimento è zero. Infatti:
• Si inizia con la mosca sul soffitto.
• Il testo dice che se la mosca parte dal soffitto la probabilità che si posi su una delle 4 pareti verticali o dì nuovo sul soffitto è 1/5 per ciascuna di queste cinque superfici. Dunque probabilità ZERO, dopo il primo volo, che la mosca sia sul pavimento!

E dopo k mosse della mosca, quali sono le probabilità che essa sia sul soffitto o su una parete?
[Abbiamo già visto la probabilità che sia sul pavimento, che è la risposta al quiz].
Anche queste probabilità si trovano facilmente col procedimento analogo a quello usato per il calcolo della probabilità che la mosca sia sul pavimento (dopo k mosse). Completando la terna $V_k$ si ha:
$V_k =[ a_k, b_k, c_k] = [1, 0, 0]·T^k$ dove:
$a_k = 1/2·1/5^k +(-1)^k·1/3·1/5^k + 1/6 =$ ;
$b_k = -(-1)^k·2/3·1/5^k + 2/3 =$ ;
$c_k = -1/2·1/5^k +(-1)^k·1/3·1/5^k + 1/6 =$
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[superpippone]

Chiedo venia: avevo letto male il testo....
Così imparo ad intromettermi in campi "non" di mia competenza.

[nino_12]

"Erasmus_First": Completando la terna $V_k$ si ha:
$V_k =[ a_k, b_k, c_k] = [1, 0, 0]·T^k$ dove:
$a_k = 1/2·1/5^k +(-1)^k·1/3·1/5^k + 1/6 =$ ;
$b_k = -(-1)^k·2/3·1/5^k + 2/3 =$ ;
$c_k = -1/2·1/5^k +(-1)^k·1/3·1/5^k + 1/6 =$

Scusa Erasmus, prova a sommare con le tue formule le 3 probabilità.
Dopo 2 mosse viene 1,053333.... (invece di 1)

Per le mosse dispari, va bene, per quelle pari il valore somma delle 3 probabilità tende pian piano a 1

Ciao
Nino

[veciorik]

"nino_":
Scusa Erasmus, prova a sommare con le tue formule le 3 probabilità.
Dopo 2 mosse viene 1,053333.... (invece di 1)
Per le mosse dispari, va bene, per quelle pari il valore somma delle 3 probabilità tende pian piano a 1

nino_
mi sembra corretta
forse ti sei perso qualcosa nei calcoli

[nino_12]

"veciorik":
nino_
mi sembra corretta
forse ti sei perso qualcosa nei calcoli

Hai ragione!
Ma non è (solo) colpa mia...

Ho fatto il conto con excel.
Se fai:

$=-(-1)^2*2/3*1/(5^2)+2/3 $ viene $ 0,693333...$

mentre se scrivi:

$ =2/3-(-1)^2*2/3*1/(5^2) $ sottrae e viene giustamente $0,64$

[Erasmus_First]

"nino_":[...]con excel [...]
Se fai:
$=-(-1)^2*2/3*1/(5^2)+2/3 $ viene $ 0,693333...$

mentre se scrivi:
$ =2/3-(-1)^2*2/3*1/(5^2) $

Occhio!
La colpa del qui-pro-quo è mia!
Avevo scritto "$-$" (cioè un "meno") al posto di "$·$" (cioè un "per").
Poi ho corretto (come potete supporre dal fatto che si vede che ho "modificato).

Caro "nino_" (alias aspesi di RM),
tu non hai risposto propriamente al quiz!
Infatti si chiede una risposta "universale" (per ogni k naturale, espressa con calcolo simbolico).
Tu risolvi il problema di sapere le probabilità se sai il numero di mosse (cioè quanto vale k).
Ma nel quiz quanto vale k non c'entra!
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[Leonardo9P]

Ci sono anche le soluzioni alla fine, e non mi pare faccia così

[orsoulx]

"LeonardoP9":non mi pare faccia così

L'unica differenza che noto fra la soluzione 'ufficiale' e quella di Erasmus_First consiste nella separazione in quest'ultima del termine che 'controlla il segno in funzione della parità di k.
Erasmus scrive .... $ (-1)^k \cdot 1/3 \cdot 1/5^k $... dove nell'ufficiale compare ...$ 1/3 (-1/5)^k $..., mi pare ovvio che le due scritturte siano del tutto equivalenti.
Più interessante, per te, dovrebbe essere, invece, confrontare le differenze metodologiche fra i due procedimenti. Quello di Erasmus è di un livello superiore all'altro. Credo si possa dedurre che la SNS non richieda una conoscenza puntuale dello sviluppo matriciale, quanto piuttosto l'abilità nel saper applicare, in situazioni non consuete, metodi alla portata di uno studente diplomato, sostenuto, in questo caso, dal suggerimento puntuale che è stato fornito.
Suppongo che la SNS non abbia difficoltà a fornirti un elenco delle conoscenze di base ritenute indispensabili per affrontare i test delle selezioni annuali. Potresti provare a richiederlo.

Il primo quesito è invece più elementare. Se comprendi le notazioni, devi pensare ad una tabella a doppia entrata: quelle di uso comune nelle statistiche. Le intestazioni non sono necessariamente di tipo numerico. Esempio un genitore con tre figli ha segnato, per ciascuno di loro, le visite dal pediatra alle diverse età, facciamo nel primo e nel secondo anno di vita. Una tabella con tre colonne (una per figlio) e due righe (una per anno), in ciascuna casella ci sono i dati (nel quesito possono solo essere degli 0 o degli 1).
Ti viene chiesto di confrontare, giustificando il risultato, due valutazioni: fra il massimo dei minimi in ciascuna riga ed il minimo dei massimi in ciascuna colonna, che relazione sussiste? Tipica situazione da teoria dei giochi.
Ciao
B.

[Leonardo9P]

Quindi se non ho capito male le conoscenze sono più dei primi 2 3 anni di scuola che altro e' quindi basta studiare un comune programma di liceo. la differenza sta nel capire il problema fuori dai soliti quesiti ma comprenderne il ragionamento e risolverlo con la teoria applicata al caso giusto?

[robbstark1]

Mi intrometto nella discussione.
Per quanto riguarda gli argomenti grosso modo bastano quelli studiati al liceo (anche se magari alcuni vengono saltati al liceo). Comunque qui trovi una lista completa:
http://www.sns.it/ammissione/ammissione ... di-scienze
La difficoltà sta proprio nel risolvere gli esercizi, che richiedono più ragionamento e trucchetti vari rispetto agli standard del liceo.

Propongo il modo in cui ho risolto il problema 2, seguendo piuttosto fedelmente l'ordine con cui ho pensato i vari pezzi, piuttosto che riportando la soluzione nella sua forma più elegante:

Prima di tutto mi sono calcolato un po' di probabilità a mano, che aiuta sempre:
$p_0 = 0$ (dopo 0 mosse si trova infatti sul soffitto)
$p_1 = 0$ (dal soffitto non può andare direttamente al pavimento)
$p_2 = 4/5 * 1/5$ (deve prima andare su una parete, quindi sul pavimento)
$p_3 = 4/5 * 3/5 * 1/5 + 4/5 * 1/5 * 1/5 + 1/5 * 4/5 * 1/5 = 4/25$ (parete-altra parete - pavimento o parete-pavimento-pavimento o soffitto-parete-pavimento)
Osservo che i primi due addendi della $p_3$ si potevano in effetti unificare, in quanto la probabiltà di ritrovarsi sul pavimento a partire da una parete o dal pavimento stesso è sempre la stessa ($1/5$).
Questo significa che la probabilità di ritrovarsi sul pavimento dopo $k$ mosse è $1/5$ per la probabilità di trovarsi ovunque tranne che sul soffitto dopo $k-1$ mosse.
Se indico con $q_k$ la probabilità di trovarsi sul soffitto dopo $k$ mosse, l'affermazione precedente si scrive come:
$p_k = 1/5 (1 - q_{k-1})$
Per simmetria possiamo applicare lo stesso ragionamento alla probabilità di trovarsi sul soffitto dopo $k$ mosse, rispetto a quella di trovarsi sul pavimento dopo $k-1$ mosse:
$q_k = 1/5 (1 - p_{k-1})$
Scalo gli indici di $1$:
$q_{k-1} = 1/5 (1 - p_{k-2})$
Quindi rimpiazzo quest'ultima nella prima relazione di ricorrenza:
$p_k = 1/5 (1 - 1/5 (1 - p_{k-2})) = 4/(25) + 1/(25) p_{k-2}$
Abbiamo trovato dunque una relazione di ricorrenza a termini alterni.
Conoscendo $p_0 = 0$ possiamo ricavare tutti i termini con $k$ pari, e conoscendo $p_1 = 0$ possiamo ricavare tutti i termini con $k$ dispari.
Notiamo che le due successioni per $k$ pari e dispari hanno stessi valori iniziali e stessa relazione di ricorrenza, per cui in pratica basta studiare una delle due.
Consideriamo quella per $k$ pari, ovvero $k=2t$:
$p_{2t} = 4/25 + 1/25 p_{2(t-1)}$
In maniera indolore possiamo rinominare la successione in modo che gli indici siano tutti i naturali, non solo pari:
$p_{2t} -> P_{t}$
$P_{t} = 4/25 + 1/25 P_{t-1}$
Confrontiamo questa con la relazione di ricorrenza contenuta nel suggerimento del testo ($P_t$ sarebbe l'equivalente di $y_k$):
$a = 1/(25)$, $q = 0$, $c = 4/(25)$
La soluzione sarebbe dunque del tipo:
$P_{t} = d_1 (1/(25))^t + d_3$
Calcolando per i primi due termini (ricordare $t= 2k$):
$P_0 = p_0 = d_1 + d_3 = 0$
$P_1 = p_2 = (1/(25)) d_1 + d_3 = 4/25$
Risolvendo il sistema:
$d_1 = -1/6$, $d_3 = 1/6$
$P_t = -1/6 (1/(25))^t + 1/6$
$p_{2t} = -1/6 (1/(25))^t + 1/6 = -1/6 (1/5)^{2t} + 1/6$
$p_{2t+1} = p_{2t}$
In questo modo abbiamo due formule distinte per $k$ pari e $k$ dispari, ma va già bene come soluzione.
Si può provare a scriverle in modo unificato e si vede che coincide con la soluzione che hanno trovato loro, ma in generale non è necessario.