Domanda di logica matematica
TRACCIA QUESITO: Sia un corridoio della larghezza di 1m con un angolo retto, come in figura (allegata qui http://pedroperaria.altervista.org/scala.gif ). La lunghezza massima che può avere un'asta rigida che possa raggiungere l'uscita del corridoio strisciando sul pavimento è:
A) 1m;
B) 2√2m;
C) √2 m;
D) 3m;
E) 3,5m.
Mi spieghereste tutti i passaggi?
A) 1m;
B) 2√2m;
C) √2 m;
D) 3m;
E) 3,5m.
Mi spieghereste tutti i passaggi?
Risposte
Penso la B ...
Si può fare in svariati modi, te ne propongo uno con le funzioni. In particolare pongo $CH=x,x>0$
I due triangoli sono simili, quindi vale la seguente proporzione
La misura della somma delle ipotenuse sarà dunque data da
è chiaro che la misura dell'ipotenusa deve essere quella minima, dunque minimizziamo la funzione $i$
dunque la funzione cresce per $x>1$ decresce per $x<1$ e ha un punto stazionario in $x=1$ dunque $x=1$ è un punto di minimo per la funzione. Calcoliamo il valore della funzione in $1$ e otteniamo
lo stesso si può fare ponendo come variabile l'angolo $HCB=x,x in(0,pi/2)$ e notando che $CH=cotx$ e $KA=tanx$ con funzione misura di ipotenusa pari a
I due triangoli sono simili, quindi vale la seguente proporzione
$x/1=1/(KA) <=> KA=1/x$
La misura della somma delle ipotenuse sarà dunque data da
$i(x)=sqrt(1+1/x^2)+sqrt(1+x^2)=sqrt(x^2+1)/x+sqrt(1+x^2)$
$i(x)=sqrt(x^2+1)(1/x+1)$
$i(x)=sqrt(x^2+1)(1/x+1)$
è chiaro che la misura dell'ipotenusa deve essere quella minima, dunque minimizziamo la funzione $i$
$i'(x)=x/sqrt(x^2+1)(1/x+1)+sqrt(x^2+1)(-1/x^2)$
$i'(x)=1/sqrt(x^2+1)+x/sqrt(x^2+1)-sqrt(x^2+1)/x^2$
$i'(x)geq0 => x^2+x^3-x^2-1geq0 => x^3geq1 => xgeq1$
$i'(x)=1/sqrt(x^2+1)+x/sqrt(x^2+1)-sqrt(x^2+1)/x^2$
$i'(x)geq0 => x^2+x^3-x^2-1geq0 => x^3geq1 => xgeq1$
dunque la funzione cresce per $x>1$ decresce per $x<1$ e ha un punto stazionario in $x=1$ dunque $x=1$ è un punto di minimo per la funzione. Calcoliamo il valore della funzione in $1$ e otteniamo
$i(1)=sqrt(1+1)(1/1+1)=2sqrt2$
lo stesso si può fare ponendo come variabile l'angolo $HCB=x,x in(0,pi/2)$ e notando che $CH=cotx$ e $KA=tanx$ con funzione misura di ipotenusa pari a
$i(x)=sqrt(tan^2x+1)+sqrt(cot^2x+1)$
Anto, c'è un piccolo problema però ... questo
... se dai una spiegazione dettagliata non possiamo accontentarci ...
"anto_zoolander":
... è chiaro che la misura dell'ipotenusa deve essere quella minima, ...
... se dai una spiegazione dettagliata non possiamo accontentarci ...
Io lo so che tu infondo lo fai per me
Esatto! 
Si poteva risolvere pure senza derivate (che sono poco eleganti)
Applicando due volte AM-GM
$sqrt(1+x^2)+sqrt(1+1/x^2)>=2sqrt(sqrt((1+x^2)(1+1/x^2)))=2sqrt(sqrt(2+x^2+1/x^2))>=2sqrt(sqrt(4))=2sqrt(2)$ dove l'uguaglianza sussiste solo quando $x^2=1/x^2$
Comunque concordo, non è immediato il perché cerchiamo il minimo della somma delle ipotenuse
Applicando due volte AM-GM
$sqrt(1+x^2)+sqrt(1+1/x^2)>=2sqrt(sqrt((1+x^2)(1+1/x^2)))=2sqrt(sqrt(2+x^2+1/x^2))>=2sqrt(sqrt(4))=2sqrt(2)$ dove l'uguaglianza sussiste solo quando $x^2=1/x^2$
Comunque concordo, non è immediato il perché cerchiamo il minimo della somma delle ipotenuse
Si può risolvere anche senza nulla, infatti l'ho specificato, mi andava di usare quella con le derivate
Comunque bello questo AM-GM, non lo conoscevo, danke.
Comunque bello questo AM-GM, non lo conoscevo, danke.
"consec":
Si poteva risolvere pure senza derivate (che sono poco eleganti)
Applicando due volte AM-GM
$sqrt(1+x^2)+sqrt(1+1/x^2)>=2sqrt(sqrt((1+x^2)(1+1/x^2)))=2sqrt(sqrt(2+x^2+1/x^2))>=2sqrt(sqrt(4))=2sqrt(2)$ dove l'uguaglianza sussiste solo quando $x^2=1/x^2$
Comunque concordo, non è immediato il perché cerchiamo il minimo della somma delle ipotenuse
non ho ben capito questo metodo, me lo spiegheresti cortesemente?
Ciao Luisa18111996, benvenuta nel forum.
Ho corretto il titolo perchè in internet il maiuscolo è come gridare e noi non amiamo chi alza la voce.
Ho corretto il titolo perchè in internet il maiuscolo è come gridare e noi non amiamo chi alza la voce.
Grazie per il benvenuto, io vi ringrazio per la disponibilità nel rispondermi.
Non volevo urlare scrivendo il titolo in maiuscolo, volevo solo evidenziarlo essendo questo il titolo. Errore mio, non lo ripeto più.
Non volevo urlare scrivendo il titolo in maiuscolo, volevo solo evidenziarlo essendo questo il titolo. Errore mio, non lo ripeto più.
"Luisa18111996":
[quote="consec"]Si poteva risolvere pure senza derivate (che sono poco eleganti)
Applicando due volte AM-GM
$sqrt(1+x^2)+sqrt(1+1/x^2)>=2sqrt(sqrt((1+x^2)(1+1/x^2)))=2sqrt(sqrt(2+x^2+1/x^2))>=2sqrt(sqrt(4))=2sqrt(2)$ dove l'uguaglianza sussiste solo quando $x^2=1/x^2$
Comunque concordo, non è immediato il perché cerchiamo il minimo della somma delle ipotenuse
non ho ben capito questo metodo, me lo spiegheresti cortesemente?[/quote]
La disuguaglianza aritmetico geometrica afferma che date $n$ quantità positive $a_1, a_2, ... a_n$, allora vale la seguente relazione:
$(a_1+a_2+...+a_n)/n>=root(n)(a_1a_2...a_n)$
Ossia, la somma dei valori fratto il numero di essi è sempre maggiore o uguale al prodotto di tutti i valori sotto radice ennesima. Il segno di uguaglianza (e quindi il minimo della somma e massimo del prodotto) si conserva quando gli $n$ elementi sono uguali.
Applicandolo alla funzioni (strettamente positive) $sqrt(1+x^2)+sqrt(1+1/x^2)$ allora otteniamo
$(sqrt(1+x^2)+sqrt(1+1/x^2))/2>=sqrt(sqrt((1+x^2)(1+1/x^2)))$.
Espandendo le parentesi ci riconduciamo a
$sqrt(1+x^2)+sqrt(1+1/x^2)>=2root(4)(2+x^2+1/x^2)$
Minizzare la funzione sul lato destro vuol dire minimizzare la somma $x^2+1/x^2$, per cui procediamo allo stesso modo
$(x^2+1/x^2)/2>=sqrt(1)$ ossia $x^2+1/x^2>=2$
Procedendo a ritroso troviamo
$sqrt(1+x^2)+sqrt(1+1/x^2)>=2root(4)(2+x^2+1/x^2)>=2root(4)(4)=2sqrt(2)$
Dove l'uguaglianza si mantiene (e quindi la somma delle ipotenuse assume il valore minimo) quando $sqrt(1+x^2)=sqrt(1+1/x^2)$ e $x^2=1/x^2$, entrambe soddisfatte per $x=1$
Grazie infinite per il chiarimento!
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