Divisibile per $7$

[axpgn]

Dato un numero di tre cifre $n=a_1a_2a_3$, in base $10$, trovare i minimi valori assoluti di $m_1, m_2, m_3$ tali che $n$ sia divisibile per $7$ se $m_1a_1+m_2a_2+m_3a_3$ è divisibile per $7$


Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Non è una risposta completa, ma è pur sempre una risposta.

Tre valori che vanno bene sono $m_1=2;m_2=3; m_3=1$. Infatti
- se $2a_1+3a_2+a_3=7h$, cioè $ a_3=-2a_1-3a_2+7h$
- allora $n=100a_1+10a_2+a_3=98a_1+7a_2+7h=7(14a_1+a_2+h)$

Vanno bene anche soluzioni in cui gli $m_i$ sono sostituiti da numeri ad essi uguali modulo 7, e fra queste soluzioni la terna indicata è la più prossima allo zero; resta il dubbio che possano esserci soluzioni di altro tipo e migliori.

[axpgn]

$n=a_1*10^2+a_2*10+a_3=a_1(7+3)^2+a_2(7+3)+a_3=7(14a_1+a_2)+2a_1+3a_2+a_3$

Quando dividiamo $n$ per $7$, il resto è $2a_1+3a_2+a_3$.
Ne consegue che $n$ è esattamente divisibile per $7$ se $2a_1+3a_2+a_3$ lo è.
Quindi $m_1=2, m_2=3, m_3=1$

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Per arrivare alla soluzione avevo fatto un ragionamento simile al tuo; ho poi preferito scriverne uno lievemente diverso, che mi sembrava più chiaro. In entrambi i modi, resta il dubbio che ci siano soluzioni migliori; ne ho quindi esaminato l'unicità. Come ho scritto, c'è un'intera famiglia di infiniti $m_i$ che possono andar bene, ed in questa famiglia quelli indicati sono i più bassi in valore assoluto; potrebbero però esserci anche altre famiglie. Mi sembra molto improbabile, dato che la soluzione deve valere per tutte le $a_i$, ma manca una dimostrazione rigorosa e quella che intravedo è piuttosto lunga.

[axpgn]

Rigorosamente hai ragione però penso che siccome il resto è unico, qualsiasi forma diversa deve essere riconducibile a quella trovata e, dati i numeri in questione, non dovrebbe essere difficile verificare se esistono terne "minori" riconducibili a quella trovata. IMHO


Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Ho continuato a pensare a questo problema ed ho scoperto che effettivamente esistono altre famiglie; non ci sono terne "minori" di quella data, ma ce ne sono con gli stessi valori assoluti.

Come già detto, sostituendo una o più $m_i$ con un numero che le sia uguale modulo 7 si ottiene un'ipotesi equivalente a quella data e quindi si origina un'intera famiglia di terne, rappresentabile con quella avente le $m_i$ più vicine a zero. Questo non è però l'unico modo di ottenere ipotesi equivalente: possiamo anche moltiplicare i tre numeri per uno stesso fattore diverso da zero. Ad esempio, moltiplicando per 2 la $(2,3,1)$ otteniamo $(4,6,2)$, che appartiene alla terna rappresentata da $(-3,-1,2)$.
Poiché stiamo ragionando modulo 7 ed escludiamo lo zero, i fattori moltiplicativi variano da 1 a 6: per i primi due valori abbiamo i precedenti risultati e per gli altri, salvo errori di calcolo o digitazione, si ottiene $(-1,2,3);(1,-2,-3);(3,1,-2);(-2.-3,-1)$

[axpgn]

"giammaria":Ho continuato a pensare a questo problema ed ho scoperto che effettivamente esistono altre famiglie; non ci sono terne "minori" di quella data, ma ce ne sono con gli stessi valori assoluti.

Il fatto che esistano altre terne è implicito nel testo dato che richiede i minimi valori di $m_1, m_2, m_3$.
Le altre terne "equivalenti" che hai trovato contengono tutte un termine negativo; ora, se le consideriamo come valori assoluti, non soddisfano la richiesta.
Penso che con la richiesta del valore assoluto, si intenda escludere il fatto che data una valida terna di interi positivi anche quella formata dai suoi opposti è anch'essa valida. IMHO.
Comunque, al di là di questo, quello che è interessante è aver determinato un criterio di divisibilità per sette dei numeri di tre cifre (anzi un metodo per trovare criteri di divisibilità validi per qualunque divisore e per qualsiasi dividendo, no? )

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Non sono d'accordo.

Scrivi "Il fatto che esistano altre terne è implicito nel testo dato che richiede i minimi valori di $m_1, m_2, m_3$.", ma questo succede anche nell'ambito di una stessa famiglia; ad esempio, la famiglia di $(2,3,1)$ contiene anche $(9,17, -20)$. Io ho dimostrato che esistono anche altre famiglie.
Scrivi poi "Penso che con la richiesta del valore assoluto, si intenda escludere il fatto che data una valida terna di interi positivi anche quella formata dai suoi opposti è anch'essa valida.", ma proprio il fatto che si parlasse di valori assoluti e non di interi positivi mi fa pensare che vadano considerate anche le soluzioni con qualche $m_i$ negativa (non necessariamente tutte).
Concordo però col dire che l'importante non è questo.