Dividere per $9$

[axpgn]

Un intero viene ridotto ad un nono del suo valore quando una certa cifra di quelle che lo compongono viene cancellata ed inoltre anche il numero risultante dalla divisione è divisibile per nove.

- Provare che è possibile compiere questa seconda divisione allo stesso modo della prima ovvero cancellando una certa cifra

- Determinare tutti gli interi che soddisfano le condizioni del problema.



Cordialmente, Alex

[Zero87]

Ci ho pensato per giorni mentre il forum era al buio, ma non ne ho cavato niente...

l'unica cosa che ho tirato fuori è che il numero che tolgo è un $9$ o uno $0$ ma è talmente banale che non metto nemmeno lo spoiler...

Per il resto, se non risponde nessuno... un hint?

[axpgn]

Beh, sviluppala un po' …anche perché non ho capito … … insomma: quali ragionamenti hai fatto?

[Zero87]

"axpgn":insomma: quali ragionamenti hai fatto?

Spoilerizzo, ma non è niente di che.

Se tolgo un numero e il numero che resta è divisibile per 9 il numero che tolgo è uno zero o un nove perché un numero, per essere divisibile per nove, deve avere un multiplo di 9 come somma delle cifre.
Per il resto ho provato a fare dei casi, ho provato a utilizzare la notazione polinomiale dei numeri ($a \cdot 10^n + b \cdot 10^(n-1) + ...$ per dare l'idea) ma non ne esco...

[axpgn]

Quello è solo l'inizio

Comunque metti sotto spoiler lo stesso

Piccolo (o grosso? ) hint:

Da dove la togli la cifra?

Cordialmente, Alex

[Zero87]

La risposta all'hint è: non ne ho la più pallida idea, ma comunque ho spoilerizzato e ci penso su.

[axpgn]

"Zero87":Spoilerizzo, ma non è niente di che.

È una questione di abitudine … peraltro non è vero che non è "niente di che"

"Zero87":La risposta all'hint è: non ne ho la più pallida idea, … e ci penso su.

Pensaci

[giammaria2]

Rispondo solo alla seconda domanda, ma mi sembra facile partire dalle soluzioni trovate per rispondere alla prima. Probabilmente c'è un altro ragionamento col quale la prima domanda prelude alla seconda.

Nota iniziale
Se ad una soluzione vengono accodati degli zeri si ottiene un'altra soluzione; mi limito a cercare le soluzioni primitive, cioè quelle senza questi zeri finali.

Simbologia
- $N_1$ è il numero iniziale; $N_2$ è quello ottenuto cancellandone una cifra;
- le $a_i (i=0,1,2...n)$ sono le cifre di $N_1$, numerate a partire dal fondo;
- $a_k$ è la cifra che cancello;
- $x,y$ sono i numeri formati dalle cifre che rispettivamente seguono o precedono $a_k$.

Soluzione
Un numero è divisibile per 9 se lo è la somma delle sue cifre; poiché $N_1, N_2$ sono divisibili per 9, anche $a_k$ deve esserlo e quindi può valere solo 0 oppure 9.
Si ha
$N_1=10^(k+1)y+10^ka_k+x; " " N_2=10^k y+x$

e poiché $N_1=9N_2$

$10^(k+1)y+10^ka_k+x=9(10^k y+x)" "->" "10^ky+10^ka_k=8x$

$x$ è un numero di $k$ cifre, quindi $x<10^k$, perciò
$10^ky+10^ka_k<8*10^k" "->" "y+a_k<8$

Ho $a_k<8$, quindi escludo che valga 9 e resta solo $a_k=0$.
Inoltre ho $y<8$, quindi $y$ ha al massimo una cifra; anzi, ne ha esattamente una perché altrimenti $N_1$ inizierebbe con $a_k=0$. Quindi $k=n-1$ ed $N_1$ ha una prima cifra $a_n=y<8$, seguita da $a_k=0$ e poi da $x$ intero e tale che
$10^(n-1)a_n+10^k*0=8x" "->" "x=10^(n-1)/8 a_n=125*10^(n-4) a_n$
Per $n>4$ si ottengono soluzioni non primitive ed $n=0$ rende privo di cifre $N_2$; restano
- $n=1$, con cui $x=125/1000 a_n=1/8 a_n$ ed è intero solo per $a_n=8$: escluso perché deve essere $a_n<8$;

- $n=2$, con cui $x=125/100 a_n=5/4 a_n$. Escludendo il valore 8, può essere solo $a_n=4$ e quindi $x=5$ e $N_1=405$

- $n=3$, con cui $x=125/10 a_n=25/2 a_n$. Quindi $a_n$ deve essere pari, ma se vale 4 ho una soluzione non primitiva. Con $a_n=2$ ho $x=25$ e $N_1=2025$; con $a_n=6$ ho $x=75$ e $N_1=6075$

- $n=4$, con cui $x=125 a_n$. Per ottenere soluzioni primitive $a_n$ deve essere dispari, quindi i valori possibili di $N_1$ sono $10125, 30375, 50625, 70875$

[axpgn]

Bravissimo!!
L'esposizione poi è fantastica!

Però rimane aperta la prima domanda …

Certamente avendo in mano le soluzioni, si vede ad occhio che anche la seconda divisione si può fare allo stesso modo della prima ma a priori?

Comunque nella tua analisi c'è già il punto "nodale"

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Ecco la dimostrazione a priori per la prima domanda: darla è più elegante, ma limitarsi a dividere per 9 i pochi risultati trovati è più veloce.

Uso la simbologia della precedente mail e ne richiamo i punti che mi servono.
Il numero $N_2$, risultato della prima divisione, è formato da una cifra iniziale $y=a_n$ seguito da un intero $x$ avente $k=n-1$ cifre e tale che $10^(n-1)a_n=8x$. Perciò

$N_2=10^ky+x=10^(n-1)a_n+x=8x+x=9x$

e quindi dividendolo per 9 si ottiene quel numero, senza la sua prima cifra.

[axpgn]

La cifra da cancellare nei numeri cercati deve essere uno zero in seconda posizione; dimostrato questo si ha $N-N/9=a_n*10^n-a_n*10^(n-1)$ da cui $N/9=N-a_n*9*10^(n-1)$ e dividendo per nove abbiamo $1/9*N/9=N/9-a_n*10^(n-1)$ ovvero basta cancellare la prima cifra di $N/9$.

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

"giammaria":

[...] i valori possibili [...] sono 10125, 30375, 50625, 70875

Dunque secondo te – giammaria, e secondo Alex che ti approva – tali numeri sono tutti di 5 cifre.
Invece [secondo me] ce ne sono anche di sole 4 cifre.

9·25 = 225 e 9·225 = 2025;
9·75=675 e 9·675 = 6075.

Ciao carissimi Alex e giammaria.

Per un anno intero ... ho avuto altro cui pensare. Tra l'altro, mi son fatto 58 giorni di quarantena come badante "negativo" (al coronavirus Covid-19) di familiare "positivo" (per due volte a distanza di 3 settimane) ma poi fortunatamente "guarito".

________

[axpgn]

Ciao Erasmus, ben tornato!

Per quanto riguarda il problema, mi sa che ti sei perso un pezzo della soluzione di giammaria ...

"giammaria":

- $ n=2 $, con cui $ x=125/100 a_n=5/4 a_n $. Escludendo il valore 8, può essere solo $ a_n=4 $ e quindi $ x=5 $ e [size=200]$ N_1=405 $[/size]


- $ n=3 $, con cui $ x=125/10 a_n=25/2 a_n $. Quindi $ a_n $ deve essere pari, ma se vale 4 ho una soluzione non primitiva. Con $ a_n=2 $ ho $ x=25 $ e [size=200]$ N_1=2025 $[/size]; con $ a_n=6 $ ho $ x=75 $ e [size=200]$ N_1=6075 $[/size]


- $ n=4 $, con cui $ x=125 a_n $. Per ottenere soluzioni primitive $ a_n $ deve essere dispari, quindi i valori possibili di $ N_1 $ sono $ 10125, 30375, 50625, 70875 $

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

"axpgn":[...] mi sa che ti sei perso un pezzo della soluzione di giammaria ...

A dir il vero, dapprima ho trovato per tentativi 10125 dopo aver letto soltanto il tuo messaggio di apertura; e poi ho letto solo le ultime righe del messaggio di giammaria perché contenevano anche il numero trovato da me. Ho quindi creduto –mea culpa, mea culpa, mea maxima culpa – che per giammaria quei quattro numeri di 5 cifre fossero tutte le soluzioni (escludendo quelle che si ottengono aggiungendo a destra di quelle terminanti con 5 un numero arbitrario di zeri ).

Grazie, Alex, per avermi fatto notare che il messaggio di giammaria è esaustivo, comprendendo anche la soluzione di tre cifre 405 alla quale io nonavevo affatto pensato.
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