Disuguaglianza con altezze

[Pachisi]

Sia $ABC$ un triangolo acutangolo. Siano $D, E, F$ i piedi delle altezze uscenti da $A, B, C$, rispettivamente. Dimostrare che $DE+DF \le BC$.

[orsoulx]

Questa dimostrazione è inconsistente, perché contiene un'affermazione, vera, ma non provata. In fondo ci metterò una pezza.
Siano A', E' ed F' i corrispondenti, rispettivamente, di A, E ed F nella simmetria di asse BC. FF'E'E è allora un trapezio isoscele le cui [strike]mediane[/strike] diagonali EF' ed FE' sono bisecate dalle perpendicolari BC e AA' -> il loro punto di intersezione è D.
Sarà allora DE + DF= EF' la spezzata di minor lunghezza che congiunge E con F passando per un punto di BC (qui, volendo, si potrebbe evocare l'ottica geometrica alla faccia di chi, diversamente educato, vorrebbe vederla in ogni dove).
Considerando la circonferenza di diametro BC (E,E',F,F' vi appartengo ovviamente), sia O il suo centro, sarà allora:
$ DE+DF <=OE+OF=BC $, con l'uguaglianza che si verifica solo quando D e O coincidono, cioè quando ABC è isoscele sulla base BC.
Per provare che le diagonali EF' e FE' si intersecano proprio in D occorre un passo in più. Si può, ad esempio, dopo aver anticipato la costruzione della circonferenza di diametro BC, osservare che l'ortocentro H del triangolo ABC è pure incentro del triangolo EFD, perché le altezze BE e CF sono anche bisettrici in EFD (dividono gli angoli, alla circonferenza, in due parti che sottendono archi congruenti per la simmetria).

Ciao
B.

[Sk_Anonymous]

BC e diametro DE+DF' è corda

[Pachisi]

Dimostrazione molto bella, certamente più della mia.

[orsoulx]

@Pachisi
prima dell'aspetto estetico, per sua natura soggettivo, viene quello logico: la mia, nella prima versione, era una ciofeca; ...e ci son sempre i parassiti.
Mi pare interessante osservare una conseguenza della proprietà: in un qualsiasi triangolo acutangolo, i piedi delle altezze sono i punti di contatto del circuito di minor lunghezza che tocca i tre lati. Il percorso coincide con quello che descriverebbe un raggio di luce se i lati del triangolo fossero specchi.
Ciao
B.