Disuguaglianza astronomica

[wall98]

evitate di usare calcolatori (anche perche non credo ne esistano per un calcolo cosi):

è vero che \(\displaystyle 8^{9!} > (8^9)! \) ?

[Sk_Anonymous]

Avevo questo risultato preliminare in testa, quindi già che ci sono lo dimostro, usando però qualche argomento avanzato: per \(n \in \mathbb{N}\) vale \[ n! > \left( \frac{n}{3} \right) ^n \qquad [1] \]
Prova (induzione su \(n\)).

Per \(n=2\) si ha certamente che \[2!=2 > \left( \frac{2}{3} \right)^2 \]
Supposta vera la \([1]\) per \(n\) provo che vale per \(n+1\): si ha infatti che \[(n+1)!=(n+1)n! > \left( \frac{n+1}{3} \right)^{n+1}= \frac{(n+1)^n}{3^{n+1}}(n+1) \] e dividendo tutto per \(n+1 \ne 0\) si ottiene \[n! > \frac{(n+1)^n}{3^{n+1}}\]
basta ora osservare che \[\frac{n^n}{3^n} > \frac{(n+1)^n}{3^{n+1}}\] infatti questa equivale a \[3 > \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n=a_n\] che è valida in quanto \(a_n\) converge a \(e <3 \) in maniera crescente (questo è un fatto noto, ma ne avevo già dato una prova, qui sul forum). Per l'ipotesi induttiva si ha quindi \[n! > \left( \frac{n}{3} \right)^n > \frac{(n+1)^n}{3^{n+1}} \] che prova la \([1]\).

Usando la \([1]\) si conclude facilmente con la seguente catena: \[8^9 ! > \left( \frac{8^9}{3} \right)^{8^9} > \left( \frac{8^9}{8} \right)^{8^9}=(8^8)^{8^9}=8^{8 \cdot 8^9} = 8^{8^{10}} > 8^{9!} \]in quanto \(8^{10} > 9!\).

[wall98]

non devo di certo confermare io,ma si è giusta!