Disuguaglianza

[axpgn]

Dimostrare che $(A+a+B+b)/(A+a+B+b+c+r)+(B+b+C+c)/(B+b+C+c+a+r)>(C+c+A+a)/(C+c+A+a+b+r)$

Tutte le lettere sono numeri positivi.

Cordialmente, Alex

[totissimus]

$x=\frac{A+a+B+b}{A+a+B+b+c+r}$ ,$y=\frac{B+b+C+c}{B+b+C+c+a+r}$
, $z=\frac{C+c+A+a}{C+c+A+a+b+r}$

$x<1,y<1,z<1$

$(x-1)(A+a)+(x-1)(B+b)+x(c+r)=0$

$(y-1)(B+b)+(y-1)(C+c)+y(a+r)=0$

$(z-1)(C+c)+(z-1)(A+a)+z(b+r)=0$

Addizionando le prime due equazioni e sottraendo la terza si ottiene

$(x-z)(A+a)+(x+y-2)(B+b)+(y-z)(C+c)+(x+y-z)r+cx+ay-bz=0$

$(x+y-z)r=(z-x)(A+a)+(2-x-y)(B+b)+(z-y)(C+c)+bz-cx-ay$

Essenddo:

$2-x-y>0$,$c
risulta:

$(x+y-z)r>(z-x)(A+a)+(z-y)(C+c)-(C+c)x-(A+a)y$

$(x+y-z)r>(z-x-y)(A+a)+(z-x-y)(C+c)$

$(x+y-z)(r+A+a+C+c)>0$

da cui

$x+y-z>0$

[axpgn]

Fantastico!

Ecco un'altra strada …

Se $x, y, p, q$ sono positivi allora da $x>y$ e $1/p>1/q$ ricaviamo $x/(x+p)>y/(y+q)$

Perciò da $A+a+B+b>A+a$ e $1/(c+r)>1/(C+c+b+r)$ otteniamo $(A+a+B+b)/(A+a+B+b+c+r)>(A+a)/(C+c+A+a+b+r)$

Similmente avremo che da $B+b+C+c>C+c$ e $1/(a+r)>1/(A+a+b+r)$ segue $(B+b+C+c)/(B+b+C+c+a+r)>(C+c)/(C+c+A+a+b+r)$

Sommando membro a membro otteniamo la disequazione richiesta.

Cordialmente, Alex

[Mathita]

@axpng: solo per curiosità, sai se esiste una soluzione geometrica?

[axpgn]

Non ne ho idea

Penso che lo "scopo" fosse "solo" algebrico ovvero usare il "teorema" iniziale

Cordialmente, Alex

[Mathita]

Grazie per avermi risposto, mi hai liberato la testa da un tarlo. La lettera $r$ mi ha indotto a pensare che fosse il raggio di una circonferenza e, partendo dall'idea sbagliata, non sono riuscito a dimostrare la disuguaglianza.

Bell'esercizio e belle soluzioni!