Disuguaglianza

[Pachisi]

Siano $a,b,c,d $ reali positivi tali che $a+b+c+d=4$. Dimostrare che $4/(abcd) \geq a/b+b/c+c/d+d/a$.

[Pachisi]

@dan95: La disuguaglianza non mi sembra simmetrica. Infatti, se io permuto $(a,b,c,d)$ in, per esempio, $(b,a,c,d)$, non ottengo la stessa disuguaglianza.

[dan952]

Mi sono spiegato male...

Supponiamo che $c \geq b \geq d \geq a>0$ quello che è cambiato sono semplicemente i ruoli ma si procede nello stesso modo.

[Pachisi]

Non capisco. Una disuguaglianza è simmetrica se ogni permutazione delle variabili porta alla stessa disuguaglianza. In questo caso non succede, quindi non è simmetrica.

[dan952]

Non intendevo simmetrica in quel senso, ho abusato del termine, lasciamo stare comunque sia quella ipotesi non fa perdere generalità.

[G.D.5]

Come non fa perdere di generalità? Certo che fa perdere di generalità!

[dan952]

Wlog (without loss of generality): ci si riduce ad un caso (qui abbiamo 24 possibili casi, con disuguaglianze strette) ma per ognuno di essi si usa lo stesso procedimento. In che senso? Se stiamo in un altro caso dovremmo usare altre disuguaglianze, ad esempio $bd+ac \geq ab+cd$ ma comunque procediamo allo stesso modo... Non so più come spiegarlo.

[G.D.5]

Ma no.

WLOG si usa proprio quando il problema presenta delle simmetrie in ragione delle quali la particolare posizione assunta serve solo a semplificare la procedura e non a generare una procedura che dipende strettamente dalla posizione assunta. Leggi QUI.

Quello che stai facendo tu è andare per casi. Che poi questi casi siano simili è un altro paio di maniche.

[dan952]

Cerca su wikipedia "Wlog"...

Gli altri dubbi te li ho chiariti?

[G.D.5]

L'unico dubbio vero che avevo era quello che hai numerato come 2 nella tua risposta.

Che avessi usato AM-GM lo avevo capito: stavo contestando la forma in cui l'avevi usata. Ma questa è una questione di lana caprina.

Continuo invece a contestare il WLOG. Leggi anche QUI. A parte il fatto che anche Wikipedia dice che il WLOG trova la sua giustificazione nella simmetria del problema.

[G.D.5]

E noto adesso che anche Wikipedia linka l'articolo che ti ho linkato, il quale articolo in verità non è semplicemente un articolo ma un capitolo di Theorem Proving In High Order Logics (Springer).

[dan952]

Mi puoi linkare pure un sito scritto da Terence Tao, ma tanto rimango di quell'idea.

[G.D.5]

Se così ti fa piacere, non ho altro da aggiungere.

[axpgn]

No, dan, non va bene ... non puoi metterli in ordine come vuoi tu ... $a$ va diviso per $b$ che sia $a
Cordialmente, Alex

[dan952]

E lì sono d'accordo, stiamo in un caso differente ma il procedimento è simile. Ormai è evidente che qui non ci stiamo capendo (a vicenda) ed è quindi inutile continuare la discussione.

[orsoulx]

@dan95
hai ragione 'tanto il procedimento è lo stesso'. Ed allora, per avere una dimostrazione completa da poter confrontare con quella, elegante, di G.D., lascia perdere le ipotesi sull'ordinamento, basta distinguere due casi: $ bc+ad < ab+ cd $ oppure la negazione di questa. Il costo è irrisorio e nessuno protesta più.

[dan952]

È quello che sto cercando di dire da 3 post

[axpgn]

Sì, dan, quello si era capito (almeno io, credo ... ), la questione è sorta su WLOG, è quello non é vero; come diceva GD e in un certo senso confermato da orsoulx, vai per casi.
Comunque, niente di che ...

Cordialmente, Alex