Disuguaglianza

[Pachisi]

Siano $a,b,c,d $ reali positivi tali che $a+b+c+d=4$. Dimostrare che $4/(abcd) \geq a/b+b/c+c/d+d/a$.

[kobeilprofeta]

basta provare con tutte le possibili quaterne, non sono molte...

[dan952]

No, infatti sono infinite

[G.D.5]

Però messa così, secondo me, la domanda è mal posta: infatti se \( a, b, c, d \) sono non negativi, allora almeno uno di essi può essere nullo, il che non inficerebbe il fatto che sia anche \( a + b + c + d = 4 \) ma farebbe perdere di senso alla disuguaglianza da provare. Dunque, a mio parere, il quesito andrebbe riformulato sotto l'ipotesi che sia \( a, b, c, d > 0 \). Se così è, questa è la mia proposta:

Sotto l'ipotesi che sia \( a, b, c, d \neq 0 \) la disuguaglianza da provare equivale alla seguente:

\[
4 \geq a^{2}cd + ab^{2}d + abc^{2} + bcd^{2}
\]

essendo \( \displaystyle a^{2}cd + ab^{2}d + abc^{2} + bcd^{2} = a \cdot acd + b \cdot abd + c \cdot abc + d \cdot bcd \).
Posto allora \( S = \{a, b, c, d \} \), sia

\[
\sigma =
\begin{pmatrix}
a & b & c & d \\
\sigma_{a} & \sigma_{b} & \sigma_{c} & \sigma_{d}
\end{pmatrix}
\]

una permutazione degli elementi di \( S \) tale che \( \displaystyle \sigma_{a} \geq \sigma_{b} \geq \sigma_{c} \geq \sigma_{d} \): allora risulta subito che \( \displaystyle \sigma_{a}\sigma_{b}\sigma_{c} \geq \sigma_{a}\sigma_{b}\sigma_{d} \geq \sigma_{a}\sigma_{c}\sigma_{d} \geq \sigma_{b}\sigma_{c}\sigma_{d} \). Ovvero le quadruple ordinate \( \displaystyle (\sigma_{a}; \sigma_{b}; \sigma_{c}; \sigma_{d}) \) e \( \displaystyle (\sigma_{a}\sigma_{b}\sigma_{c}; \sigma_{a}\sigma_{b}\sigma_{d}; \sigma_{a}\sigma_{c}\sigma_{d}; \sigma_{b}\sigma_{c}\sigma_{d}) \) sono entrambe ordinate decrescentemente, sicché per le disuguaglianze di riarrangiamento si ha che

\[
a \cdot acd + b \cdot abd + c \cdot abc + d \cdot bcd \leq \sigma_{a}\cdot\sigma_{a}\sigma_{b}\sigma_{c} + \sigma_{b}\cdot\sigma_{a}\sigma_{b}\sigma_{d} + \sigma_{c}\cdot\sigma_{a}\sigma_{c}\sigma_{d} + \sigma_{d}\cdot\sigma_{b}\sigma_{c}\sigma_{d}
\]

Ma poiché è anche \( \displaystyle \sigma_{a}\cdot\sigma_{a}\sigma_{b}\sigma_{c} + \sigma_{b}\cdot\sigma_{a}\sigma_{b}\sigma_{d} + \sigma_{c}\cdot\sigma_{a}\sigma_{c}\sigma_{d} + \sigma_{d}\cdot\sigma_{b}\sigma_{c}\sigma_{d} = \left ( \sigma_{a}\sigma_{b} + \sigma_{c}\sigma_{d} \right ) \left ( \sigma_{a}\sigma_{c} + \sigma_{b}\sigma_{d} \right ) \), utilizzando due volte la disuguaglianza AM-GM con i quadrati, si ha:

\[
( \sigma_{a}\sigma_{b} + \sigma_{c}\sigma_{d} ) \cdot ( \sigma_{a}\sigma_{c} + \sigma_{b}\sigma_{d} ) \leq \frac{1}{4}\left [ ( \sigma_{a}\sigma_{b} + \sigma_{c}\sigma_{d}) + ( \sigma_{a}\sigma_{c} + \sigma_{b}\sigma_{d} ) \right ]^{2} = \frac{1}{4}(\sigma_{a}\sigma_{b} + \sigma_{c}\sigma_{d} + \sigma_{a}\sigma_{c} + \sigma_{b}\sigma_{d})^{2} = \frac{1}{4}\left [ ( \sigma_{a} + \sigma_{d} ) ( \sigma_{b} + \sigma_{c} ) \right ]^{2} \leq \frac{1}{4} \Biggl\{ \left [ \frac{(\sigma_{a}+\sigma_{d})+(\sigma_{b}+\sigma_{c})}{2} \right ]^{2} \Biggr\}^{2} = 4
\]

[axpgn]

È implicito che siano diversi da zero altrimenti il membro di destra perde di senso ...

[G.D.5]

Ma è sbagliato il modo in cui è posta la domanda. Le ipotesi sono semplicemente che \(a, b, c, d \) siano non negativi e che la loro somma sia uguale a \( 4 \): la quaterna \( (1, 0.5, 0, 2.5) \) rispetta in pieno le ipotesi del problema ma fa crollare la tesi.

Si vuole cioè provare quanto segue

\[
\forall a, b, c, d \in \mathbb{R}_{0}^{+}, a+b+c+d=4 \implies \frac{4}{abcd} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a}
\]

ma con la quaterna proposta il \( \forall \) non è rispettato.

[Pachisi]

Hai ragione, ora edito il post.
Ok quella per riarrangiamento , però dovrebbe anche venire solo con AM-GM.

[G.D.5]

Solo con AM-GM ciò ho provato tutta la mattina ma non mi è riuscito. Sei sicuro?

[Rigel1]

Mi sembra si possa procedere utilizzando solo la disuguaglianza \(\alpha \beta \leq (\alpha^2+\beta^2)/2\):
\[
\begin{align}
& a^2cd + b^2ad + c^2ab+d^2bc = ac(ad+bc) + bd(ab+cd)
\\ & \leq ac \, \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2} + bd \, \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}
= \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2} (ac + bd)
\\ & \leq \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2} \cdot \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}
= \frac{1}{4} (a^2+b^2+c^2+d^2)^2 \leq \frac{1}{4}(a+b+c+d)^4 = 4^3.
\end{align}
\]
Edit: corretta l'ultima disuguaglianza. Così però non basta...

[G.D.5]

@ Rigel

All'inizio hai usato la disuguaglianza RMS-GM con i quadrati e sono d'accordo ma alla fine l'ultimo \( \leq \) non me lo ritrovo.

[Pachisi]

@Rigel

Neanche io mi trovo con l'ultimo $ \leq$. Prendi per esempio $(1,1/2,1/2,2)$.

@G.D.
Sono sicuro della soluzione solo con AM-GM anche perché l'ho preso da una raccolta di esercizi da risolvere con AM-GM.

[Rigel1]

E avete ragione! Nell'ultimo termine c'è una potenza \(4\) (non \(2\)).

[G.D.5]

@ Pachisi
Mi farebbe piacere se la postassi perché senza usare il riarrangiamento non riesco a sistemare i termini in modo da usare direttamente AM-GM.

[Pachisi]

@Rigel: Così però è troppo grande.

Magari metto un piccolo hint:

Visto che $4=a+b+c+d$, abbiamo $4/(abcd)=...$.

[dan952]

Se può essere di aiuto...
$1=(\frac{a+b+c+d}{4})^4 \geq abcd$

[adaBTTLS1]

io ci ho provato qualche giorno fa ma poi ho abbandonato.
mi era venuta in mente qualcosa ma non avevo tempo, e ora non ho molta voglia di riprendere.
visto che però ero partita secondo l'hint di Pachisi, vi scrivo dove mi ero fermata:

$a(acd-1)+b(abd-1)+c(abc-1)+d(bcd-1)<=0$

sicuramente c'è una strada migliore, ma se qualcuno "vede la luce" e ha voglia di continuare...

[Sk_Anonymous]

"Pachisi":Hai ragione, ora edito il post.
Ok quella per riarrangiamento , però dovrebbe anche venire solo con AM-GM.

Considerazione meta-matematica (metà no )

L'omologo problema su 2/3 sole variabili non ha soluzione. Per questo credo che la via AM-GM da sola non possa essere sufficiente.

[Pachisi]

Mi sono appena accorto di essermi sbagliato...
Però credo di aver trovato un altro modo (che non passa per l'hint precedente)
Aggiungo che magari conviene considerare i prodotti:

$(ad+bc)(ac+bd)$ e $(ab+cd)(ac+bd)$

[dan952]

Non metto in spoiler tanto ormai è diventato di dominio pubblico.

Supponiamo $a \geq b \geq c \geq d>0$
$abcd(a/b+b/c+c/d+d/a)=a^2cd+b^2cd+c^2ab+d^2bc=ac(bc+ad)+bd(ab+cd)$
è facile mostrare che $ab+cd \geq bc+ad$ basta passare tutto al primo membro, dunque
$ac(bc+ad)+bd(ab+cd) \leq (ac+bd)(ab+cd)\leq \frac{1}{4}(ac+bd+cd+ab)^2= \frac{1}{4}(a+d)^2(b+c)^2 \leq \frac{1}{4}(\frac{a+b+c+d}{2})^4=4$

[G.D.5]

Non mi convince.

Innanzitutto nelle ipotesi del problema non vi è che sia \( a \geq b \geq c \geq d \) e non mi pare che lo si possa assumere senza perdita di generalità poiché questa ipotesi è determinante affinché si abbia \( ab + cd \geq bc + ad \) (basta infatti prendere, per esempio, \( a = 1, b = 0.7, c = 1.8, d = 0.5 \) per far crollare \( ab + cd \geq bc + ad \) ).

Non capisco come si giustifica il primo \( \leq \), i.e.

\[
ac ( bc + ad ) + bd ( ab + cd ) \leq (ac + bd)(ab + cd)
\]

Giustificato questo, sono d'accordo con la prima AM-GM e anche con la seconda però non scritta in quel modo: se scrivi

\[
\frac{1}{4}(a+d)^{2}(b+c)^{2} \leq \frac{1}{4}\left ( \frac{a+b+c+d}{2} \right )^{4}
\]

Mi fai pensare che i termini della GM siano \( (a+d)^{2} \) e \( (b+c)^{2} \), quindi la AM andrebbe scritta come \( \displaystyle \left [ \frac{(a+d)^{2} + (b+c)^{2}}{2} \right ]^{2} \).

Se potessi chiarirmi questi dubbi te ne sarei grato.

P.S.
Dopo il primo uguale credo ci sia un errore di battitura: dovrebbe essere \( b^{2}ad \) anziché \( b^{2}cd \)

[dan952]

Dubbio 1) poniamo $A=a+d$ e $B=b+c$, allora
$AB=(a+d)(b+c) \leq (\frac{A+B}{2})^2= (\frac{a+b+c+d}{2})^2$, e poi elevi al quadrato.

Dubbio 2)
Se $ab+cd \geq bc+ad$ essendo tutti termini positivi segue:
$ac(bc+ad) \leq ac(ab+cd)$.

Dubbio 3)
Dai una denominazione ai numeri in base ai valori, questo lo puoi fare per la simmetria dell'espressione.